TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT

Faculteit Informatietechnologie en Systemen

Numerieke Analyse CII (wi4014) Numerieke Methoden PDV (wi3001) 2000/2001 Tweede Serie

1. Gegeven is het begrensde gebied Ω ⊂ IR^{2}. Op een deel van de rand, Γ_{1}, is een functie u gegeven: u = g. Leid op analoge wijze als in stelling 4.3 af, dat de Euler-Lagrange vergelijking voor het minimaal oppervlak probleem:

min_{u} J[u] = ∫_{Ω} \sqrt{1 + u_{x}^{2} + u_{y}^{2}} dΩ,  (1)

wordt gegeven door

div ([1 + u_{x}^{2} + u_{y}^{2}]^{− \frac{1}{2}} grad u) = 0  (2)

Leid uit het minimaliseringsprobleem ook de natuurlijke randvoorwaarde af op Γ_{2}, het deel van de rand waar u niet gegeven is.

2. Gegeven is het minimaliseringsprobleem:

min_{u∈Σ} ∫_{Ω} \frac{1}{2} (a_{11}u_{x}^{2} + 2a_{12}u_{x}u_{y} + a_{22}u_{y}^{2}) − uf dΩ  (3)

met

Σ : {u ∈ C^{1}(Ω)|u = g, ∀(x, y) ∈ Γ_{1}.}  (4)

De coëfficiënten a_{ij} zijn plaatsafhankelijk en de symmetrische matrix A met coëfficiënten a_{ij} is positief definiet voor elk punt (x, y) ∈ Ω. Dit probleem wordt opgelost met de eindige elementen methode. We gebruiken kwadratische elementen .

(a) Leid de Euler-Lagrange vergelijkingen af met bijbehorende randvoorwaarden.

(b) Laat zien, dat de Newton-Côtesformule voor het kwadratische element wordt gegeven door

∫_{e} Int(x) dx = \frac{|Δ|}{6} [Int(x_{23}) + Int(x_{13}) + Int(x_{12})]  (5)

(c) Maak een tabel van de waarde van ϕ_{i_{x}}, ϕ_{i_{y}}, ϕ_{ij_{x}}, ϕ_{ij_{y}} in de integratiepunten van een element. Laat zien hoe met behulp van deze tabel de integralen ∫_{e} a_{11}ϕ_{i_{x}}ϕ_{j_{x}} de en ∫_{e} a_{11}ϕ_{i_{x}}ϕ_{ij_{x}} de berekend worden. (Newton-Côtes formules gebruiken.)

(d) Bereken de componenten f_{1}^{e} en f_{12}^{e} van de elementsvector.

wi4014 inleveren vóór 1 feb 2001.