TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT

Faculteit der Informatietechnology en Systemen Numerieke Analyse CII (wi4014TU) Numerieke Methoden PDV (wi3001) Vierde Serie Numerieke Wiskunde BO (wi4012) Tweede Serie 2000/01

1. Op bovenstaande gebieden wordt de Poissonvergelijking

−Δu = f  (1)

numeriek opgelost met behulp van het standaard 5-punts molecuul. Geef aan voor welk(e) gebied(en) een bandmethode kan worden gebruikt en voor welk(e) gebied(en) een profielmethode moet worden gebruikt. Geef voor de bandmethode de optimale nummering.

2. Een mogelijk iteratieproces voor het oplossen van Ax = b is het iteratieproces van Jacobi. Als A = D − L − U, waarin D diagonaal, L onderdriehoek, U bovendriehoek, wordt het proces beschreven door:

x^{n+1} = D^{−1}(L + U)x^{n} + D^{−1}b  (2)

(a) Laat zien, dat als dit proces convergeert, dit een oplossing geeft van Ax = b.

(b) Laat zien, dat als geldt

|a_{ii}| > ∑_{j≠i^{j=1}}^{n} |a_{ij}|, i = 1, 2, …, n  (3)

het proces van Jacobi convergeert. (Hint: gebruik stelling a2.8)

3. Zij A diagonaal-bloktridiagonaal. Laat zien, dat als ω groter wordt gekozen dan ω_{opt}, alle eigenwaarden van Q_{ω} complex zijn en dat geldt:

|λ_{i}| = ω − 1, i = 1, 2, …, n.  (4)

(Gebruik stelling 11.4). Waarom kun je hier geen gebruik maken van vuistregel 11.2?

4. De warmtegeleidings vergelijking in twee dimensies wordt opgelost met de ADI methode:

\frac{u^{∗} − u^{n}}{Δt} = \frac{1}{2}(A_{x}u^{∗} + A_{y}u^{n}) + \frac{1}{2}f^{n}  (5)
\frac{u^{n+1} − u^{∗}}{Δt} = \frac{1}{2}(A_{x}u^{∗} + A_{y}u^{n+1}) + \frac{1}{2}f^{n+1}  (6)

Hierin zijn u^{n}, u^{n+1}, f^{n}, f^{n+1} vectoren, die de onbekenden resp. de brontermen bevatten op verschillende tijdsniveaus en A_{x} en A_{y} matrices die de tweede gedeelde differenties representeren in x- resp. y-richting. Vergelijk deze methode met die van Crank-Nicholson:

\frac{u^{n+1} − u^{n}}{Δt} = \frac{1}{2}(A_{x} + A_{y})(u^{n+1} + u^{n}) + \frac{1}{2}(f^{n+1} + f^{n})  (7)

Laat zien, door eliminatie van de tussenstap u^{∗}, dat de orde van het verschil tussen beide methoden (in Δt) gelijk is aan de orde van de locale afbreekfout van Crank Nicolson. Wat is (dus) de orde van de locale afbreekfout van ADI?

5. Oefening 16.5.

wi4014 inleveren vóór 1 april 2001