\documentstyle [a4,12pt,strl] {article}
\begin {document}
\begin {center}
{\large TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT}\\
{\bf Faculteit der Technische Wiskunde en Informatica}\\
\vfill
{\bf 
Numerieke Analyse CII (a108)\\
Numerieke Methoden PDV (a255)\\
1991/92 Tweede Serie}
\end {center}
\vfill
\begin {enumerate}
\item
Gegeven is het begrensde gebied $\Omega \subset \IR^2$. Op een deel van de
rand, $\partial\Omega_1$, is een functie $u$ gegeven, op de rest van de rand,
$\partial\Omega_2$ niet. Leid op analoge wijze als in stelling 5.6 af, dat de
Euler-Lagrange vergelijking voor het minimaal oppervlak probleem:
\beq
\min_{u} J[u] = \int_\Omega \sqrt {1 + u_x^2 + u_y^2} \ d\Omega,
\eeq
wordt gegeven door
\beq
\divg \left( [1 + u_x^2 + u_y^2]^{-\frac12} \grad u \right) = 0
\eeq
Leid uit het minimaliseringsprobleem ook de natuurlijke rand\-voor\-waar\-de af op
$\partial\Omega_2$.
\vfill
\item
Gegeven is het minimaliseringsprobleem:
\beq
 \min_{u \in \Sigma} \int_\Omega \frac12 \left(a_{11}u_x^2 + 2a_{12}u_xu_y +
a_{22} u_y^2 \right) - uf\ d\Omega 
\eeq
met
\beq
\Sigma : \{u \in C^1(\Omega)|u=g,\quad \forall (x,y) \in \partial \Omega_1.\}
\eeq
De co\"effici\"{e}nten $a_{ij}$ zijn plaatsafhankelijk en de
symmetrische matrix A met co\"{e}ffici\"{e}nten $a_{ij}$ is positief
definiet voor elk punt $(x,y) \in \Omega.$\\
Dit probleem wordt opgelost met de eindige elementen methode. We gebruiken
kwadratische elementen als in 6.85.
\vspace {5cm}
\begin {enumerate}
\item Leid de Euler-Lagrange vergelijkingen af met bijbehorende
randvoorwaarden.
\item Laat zien, dat de Newton-C\^{o}tesformule voor het kwadratische element
wordt gegeven door
\beq
\int_e Int(x)\ dx = \frac {|\Delta|}{6} \left[ Int (x_{23}) + Int (x_{13}) + 
Int (x_{12})\right]
\eeq
\item Maak een tabel van de waarde van $\phi_{i_x}, \phi_{i_y}, \phi_{ij_x},
\phi_{ij_y}$ in de integratiepunten van een element. Laat zien hoe met behulp
van deze tabel de integralen $\int_e a_{11} \phi_{i_x} \phi_{j_x}\ de$ en
$\int_e a_{11} \phi_{i_x} \phi_{ij_x}\ de$ berekend worden.
(Newton-C\^{o}tes formules gebruiken.)
\item Bereken de twee essentieel verschillende (d.w.z. niet door cyclisch
verwisselen uit elkaar volgende) elementen van de elementsvector.
\end {enumerate}
\end {enumerate}
\vspace {1cm}
\begin {center}
{\bf a108 inleveren v\'{o}\'{o}r 1 februari 1992.}
\end{center} 
\end {document}
