\documentstyle[12pt,a4wide,strl]{article}
\input prepicte.tex
\input pictex.tex
\input postpict.tex
\begin{document}
\noindent
\begin{center}
{\bf TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT}\\
{\bf Faculteit der Technische Wisunde en Informatica}\\[2ex]
{\bf Opgaven}\\
{\bf Numerieke Analyse CII (a108)}\\
{\bf Numerieke Methoden PDV (a255)}\\
{\bf 1991/92 Serie 3}
\end{center}

\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}[t]{7cm}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(6,7)
\thicklines
\put(3,1){\beginpicture
\setcoordinatesystem units <25pt,25pt>
\setplotarea x from 0 to 4, y from 0 to 4
\ellipticalarc axes ratio 3:1 360 degrees from 1 0.5 center at 0 0
\endpicture}
\put(3,1){\beginpicture
\setcoordinatesystem units <25pt,25pt>
\setplotarea x from 0 to 4, y from 0 to 4
\ellipticalarc axes ratio 3:1 30 degrees from 2.3 -0.3 center at 0 0
\endpicture}
\put(3,6){\beginpicture
\setcoordinatesystem units <25pt,25pt>
\setplotarea x from 0 to 4, y from 0 to 4
\ellipticalarc axes ratio 2:1 360 degrees from 1.5 1 center at 0 0
\endpicture}
\put(0,0){\beginpicture
\setcoordinatesystem units <1pt,1pt>
\setplotarea x from 0 to 168, y from 0 to 210
\setlinear \plot 40 30  22 170 /
\setlinear \plot 130 30  148 170 /
\endpicture}
\put(3,1){\makebox(0,0){$\bullet$}}
\put(3,6){\makebox(0,0){$\bullet$}}
\put(3,1){\vector(1,0){0.8}}
\put(3,1){\vector(0,1){0.8}}
\put(0.2,0.5){\vector(1,1){0.7}}
\put(0.2,0.5){\vector(0,1){0.8}}
\put(0.2,0.5){\vector(1,-1){0.7}}
\put(0.3,1.6){\makebox(0,0){$z$}}
\put(0.8,0.8){\makebox(0,0){$y$}}
\put(1,0.3){\makebox(0,0){$k$}}
\put(3.3,1.8){\makebox(0,0){$z$}}
\put(3.8,0.7){\makebox(0,0){$r$}}
\put(5.5,0.8){\makebox(0,0){$\Omega$}}
\multiput(3,0)(0,0.6){12}{\line(0,1){0.3}}
\end{picture}
\caption{cilinder $\Omega$}
\label{fig1}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{8,3cm}
\vspace*{-7cm}
1. Binnen een cilinder $\Omega < \IR^{3}$ is de
convecti-diffusievergelijking gegeven:
\begin{equation}
-\Delta T + \bm{u} \cdot \nabla T = f
\label{een}
\end{equation}
met $\bm{u}$ en $f$ van de plaats afhankelijke grootheden.\\[2ex]
De coefficienten $\bm{u}$ en $f$ en de randvoorwaarden zijn
onafhankelijk van de hoek $\Theta$.
\end{minipage}
\end{figure}
De randvoorwaarden van (\ref{een}) luiden:
\begin{eqnarray}
\frac{\partial T}{\partial z}&=&0 \mbox{\rm \ op het
ondervlak}\nonumber\\
T&=&1 \mbox{\rm \ op de buitenmantel}\label{twee}\\
\frac{\partial T}{\partial n} + k (T - T_{0})&=&0 \mbox{\rm \ op het
bovenvlak}\nonumber
\end{eqnarray}
met $k$ en $T_{0}$ gegeven konstanten.
\begin{itemize}
\item[(a)]Laat zien dat de oplossing $T$ van (\ref{een}) onafhankelijk
van $\Theta$ is.
\item[(b)]Leid voor $\bm{u} = \bm{0}$ het bij (\ref{een}) behorende
equivalente minimaliseringsprobleem af.
\item[(c)]Hoe luiden de bijbehorende Ritzvergelijkingen?
\item[(d)]Voor $\bm{u} \neq \bm{0}$ bestaat er geen equivalent
minimaliseringsprobleem. Waarom niet?
\item[(e)]Geef een zwakke formulering van (\ref{een}), (\ref{twee}),
waarin afgeleiden van zo laag mogelijke orde voorkomen. (Galerkin)
\item[(f)]Aan welke randvoorwaarden moeten de test funkties voldoen?
\item[(g)]Leid de Galerkin vergelijkingen voor (\ref{een}) en
(\ref{twee}) af. Laat zien dat voor $\bm{u} = \bm{0}$ deze identiek zijn
aan de Ritzvergelijkingen in (c).
\item[(h)]Doe de EEM met behulp van de zwakke formulering in (e). Neem
basisfunkties die lineair zijn in $r$ en $z$ en konstant in $\Theta$. De
bijbehorende elementen zijn dus cirkelvormig en hebben een driehoekige
doorsnede in het $\Theta = 0, \; \; r \geq 0$ vlak.
\begin{description}
\item{i.}Laat zien hoe het matrix element $s_{ij}$ van de elementmatrix
behorend bij het element kan uitgedrukt in de co\"ordinaten van de
hoekpunten en de functiewaarden van $\bm{u}$ in de hoekpunten.
\item{ii.}Bereken de elementenvector van het driehoekige element.
\item{iii.}Bereken de elementmatrix en elementvector van het
randelement. (lijnelement)
\end{description}
Maak voor deze onderdelen gebruik van de Newton-C\^{o}tesregel.
\end{itemize}
\begin{center}
{\bf a108  inleveren v\'o\'or 1 maart 1991.}
\end{center}
\end{document}

