\documentstyle[12pt,a4wide,babel,dutch]{article}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\selectlanguage{dutch}
\noindent
{\large TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT}\\
{\sc Faculteit der Technische Wiskunde en Informatica}\\
\vspace{2cm}
\begin{center}
{\bf  Opgaven}\\
{\bf  Numerieke Wiskunde b.o. (a27c) serie 2}\\
{\bf  Numerieke Analyse CII (a108) serie 4}\\
{\bf  Numerieke Methoden PDV (a255) serie 4}\\
{\bf  1992/93}
\end{center}
\vspace{2cm}
\begin{enumerate}
\item Op het vierkant $(0,1) \times (0,1)$ wordt de Poissonvergelijking
\[- \Delta u = f\]
opgelost met zg. periodieke randvoorwaarden:
\[u(x,0) = u(x,1) = 0, \; \; u(0,y) = u(1,y), \; \; u_{x}(0,y) =
u_{x}(1,y).\]
Dit wordt opgelost met het standaard 5-puntsmolecuul. Geef de structuur
van de ontstane matrix. Geef aan of u een band- dan wel een
profielmethode gebruikt om het ontstane stelsel op te lossen en motiveer
uw keuze.
\item Men lost de Poissonvergelijking op op een vierkant met zijden 1.
Als randvoorwaarden neemt men homogene Dirichlet randvoorwaarden. De
stapgrootte is $h$.
\begin{itemize}
\item[(a)]Als men de punten nummert volgens een dambordpatroon, d.w.z.
eerst de zwarte velden allemaal nummeren en daarna de witte heeft het
stelsel $A\bf{x} = \bf{b}$ het volgende patroon:
\[\left(\begin{array}{cc}
4I_{1} &-P\\
-P^{T} &4I_{2}
\end{array}\right) \left(\begin{array}{l}
{\bf x}_{zwart}\\
{\bf x}_{wit}
\end{array}\right) = h^{2} \left(\begin{array}{l}
{\bf b}_{zwart}\\
{\bf b}_{wit}
\end{array}
\right)\]
Hierin zijn $I_{1}$ en $I_{2}$ eenheidsmatrices. Laat dit zien.
\item[(b)]Het Gauss-Seidelproces komt er dan aldus uit te zien:
\[\begin{array}{lllll}
4{\bf x}^{k+1}_{zwart}&=&P{\bf x}_{wit}&+&{\bf b}_{zwart}\\
4{\bf x}^{k+1}_{wit}&=&P^{T}{\bf x}_{zwart}&+&{\bf b}_{wit}
\end{array}\]
Schrijf dit als een iteratieproces in ${\bf x}_{wit}$ alleen. Men kan
laten zien, dat geldt:
\[\|P {\bf y}\| < 4\|{\bf y}\|, \; \; \forall {\bf y} \neq \bf{0}.\]
Leid hieruit af, dat de eigenwaarden van $P^{T}P$ kleiner dan 16 zijn.
\item[(c)]Voor de grootste eigenwaarde van $P^{T}P$ geldt:
\[\mu \approx 16 (1 - \frac{1}{4}h^{2}\pi^{2})^{2}, \; \; h \mbox{\rm \
klein.}\]
Laat zien, dat het aantal Gauss-Seidel iteraties om \'e\'en cijfer te
winnen $O(h^{-2})$ is. Laat zien, dat het aantal SOR iteraties met
optimale $\omega \; O(h^{-1})$ is.
\end{itemize}
\item Voor het oplossen van de 2-dimensionale
warmtegeleidingsvergelijking
\[\frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u\]
op het gebied $\Omega$, met $u$ gegeven op $\partial \Omega$, wordt
gebruik gemaakt van de methode van Crank-Nicolson:
\[\frac{u^{n+1}_{j,k} - u^{n}_{j,k}}{\Delta t} =
\frac{1}{2}(\delta_{x}u^{n+1}_{j,k} + \delta_{x}u^{n}_{j,k}) +
\frac{1}{2}(\delta_{y}u^{n+1}_{j,k} + \delta_{y}u^{n}_{j,k})\]
Hierin staan $\delta_{x}u_{j,k}$ en $\delta_{y}u_{j,k}$ voor de tweede
gedeelde centrale diferentie in $x$- respectievelijk $y$-richting. Laat
met behulp van Neumann analyse zien, dat deze formules onvoorwaardelijk
stabiel zijn.
\item Opgave 16.11 (iv).
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\begin{center}
{\bf a27c en a108 inleveren v\'o\'or 1 april 1993.}
\end{center}
\end{document}

