\documentstyle[12pt,a4wide,strl]{article}
\input psfig
%
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\noindent
{\large TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT}\\
{\sc Faculteit der Technische Wiskunde en Informatica}\\
\vspace{2cm}
\begin{center}
{\bf  Opgaven }\\
{\bf  Numerieke Analyse CII (a108)}\\
{\bf  Numerieke Methoden PDV (a255)}\\
{\bf  1994/95 Serie 3}
\end{center}
\vspace{2cm}
\begin{enumerate}
\item Op het gebied $\Omega$ is de convectie-diffusievergelijking
gegeven:
\[-\Delta c + \bm{b}.\nabla c = f,\]
waarin $\bf{b}$ en $f$ van de plaats afhankelijke grootheden zijn. De
randvoorwaarden zijn:\\[2ex]
%\vspace{0,5cm}
\centerline{\psfig{figure=f1s3-94_95.eps}}
%\\[4ex]
%\hspace*{9cm}$\partial \Omega_{2}$\\[5ex]
%\hspace*{9,5cm}$\Omega$\\[7ex]
%\hspace*{7,5cm}$\partial \Omega_{1}$\\[2ex]
\[c = 0 \mbox{\rm \ op } \partial \Omega_{1}, \; \; \frac{\partial
c}{\partial n} + K(c - c_{0}) = 0 \mbox{\rm \ op } \partial \Omega_{2}\]
$c_{0}$ en $K$ zijn constant.
\begin{description}
\item{(a)} Geef een zwakke formulering van dit probleem, waarin
afgeleiden van zo laag mogelijke orde voorkomen. (Galerkin)
\item{(b)} Aan welke randvoorwaarden moeten de testfuncties voldoen?
\item{(c)} Doe de EEM met behulp van de zwakke formulering in a). Neem
lineaire basisfuncties.
\begin{itemize}
\item[i.]Laat zien hoe het matrix element $s_{ij}$ van de elementmatrix
behorend bij het driehoekige element kan worden uitgedrukt in de
co\"ordinaten van de hoekpunten en de functiewaarden van $\bf{b}$ in de
hoekpunten.
\item[ii.]Bereken de elementvector van het driehoekige element.
\item[iii.]Bereken de elementmatrix en elementvector van het
randelement. (lijnelement)
\end{itemize}
Maak voor deze onderdelen gebruik van de Newton-C\^{o}tesregel.
\end{description}
\item We beschouwen de buigende balk
\[u^{iv} + u = f, \; \; x \in (0,1)\]
\begin{itemize}
\item[(i)]Met de niet-fysische randvoorwaarden
\[u'''(0) = 0, \; u (0) = 1, \; \; u'''(1) = 1, \; u'(1) = 4.\]
\item[(ii)]Met de fysische randvoorwaarden
\[u''(0) = u(0) = 0, \; \; u'(1) = u(1) = 0.\]
D.w.z. links vrij opgelegd, rechts ingeklemd.
\item[(a)]Geef voor beide typen randvoorwaarden een zwakke formulering,
waarin afgeleiden van zo laag mogelijke orde voorkomen. Aan welke
randvoorwaarden moeten de testfuncties voldoen?
\item[(b)]Doe de EEM met deze zwakke formulering voor het geval van de
randvoorwaarden ii). Neem $3^{e}$ graads conforme elementen. Aan welke
eis moeten de basisfuncties voldoen? (Gebruik oefening 5.19, pag. 109 voor 
de definitie van de basisfuncties.)
\begin{description}
\item{i.} Druk de basisfuncties uit in de lineaire basisfuncties
$\; \lambda_{i}$.
\item{ii.} Bereken het element $s_{11}$ van de elementstijfheidsmatrix en
het element $f_{1}$ van de elementvector. (Opm: Nummer 1 behoort bij
$\phi_{10}$).
\end{description}
\end{itemize}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\begin{center}
{\bf a108 inleveren v\'o\'or 1 maart 1995.}
\end{center}
\end{document}

