\documentstyle[11pt,hugepag,strl]{article}
%\topmargin=-1cm
\parindent=0.0in
%\pagestyle{empty}
\begin{document}
\newcommand{\bovenop}[2]{\stackrel{\scriptstyle #1}{\scriptstyle #2}}
%
%\title{ }      %
%\author{ }     % Dit stukje zorgt ervoor dat de koptekst goed komt te
%\date{ }       % staan. Het levert een lege pagina op.
%\maketitle     %
%
\begin{center}
{\large TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT}\\
{\large Faculteit der Technische  Wiskunde en Informatica}\\
\vspace{2cm}
% Het volgende stuk moet worden ingevuld en aangepast
%
%\begin{center}
        {\large\bf Numerieke Analyse CII (a108)} \\
        {\large\bf Numerike Methoden PDV (a255)} \\
        {\large\bf Vierde Serie} \\ 
        {\large\bf Opgaven Numerieke Wiskunde b.o. (a27c)} \\
        {\large\bf Tweede Serie} \\
        {\large\bf 1994/95} \\
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Op het vierkant $(0,1) \times (0,1)$ wordt de Poissonvergelijking
\begin{equation}
- \Delta u = f
\label{eq:1}
\end{equation}
opgelost met behulp van het standaard 5-punts molecuul. Gebruik wordt
gemaakt van schuine nummering. Laat zien, dat een diagonaalbloktridiagonale
matrix ontstaat.
\item Een mogelijk iteratieproces voor het oplossen van $A\bm{x} = \bm{b}$
is het iteratieproces van Jacobi. Als $A = D - L - U$, waarin $D$
diagonaal, $L$ onderdriehoek, $U$ bovendriehoek, wordt het proces
beschreven door:
\begin{equation}
\bm{x}^{n+1} = D^{-1}(L + U)\bm{x}^{n} + D^{-1} \bm{b}
\label{eq:2}
\end{equation}
\begin{itemize}
\item[(a)]Laat zien, dat als dit proces convergeert, dit een oplossing geeft
van $A\bm{x} = \bm{b}$.
\item[(b)]Laat zien, dat als geldt
\begin{equation}
|a_{ii}| > \sum\limits^{n}_{\bovenop{j=1}{j\neq i}}|a_{ij}|\; , \;\;\; i = 1, 2, ..., n
\label{eq:3}
\end{equation}
het proces van Jacobi convergeert. (Hint: gebruik stelling a2.8)
\end{itemize}
\item Zij $A$ diagonaal-bloktridiagonaal. Laat zien, dat als $\omega$
groter wordt gekozen dan $\omega_{opt}$, ale eigenwaarden van $Q_{\omega}$
complex zijn en dat geldt:
\begin{equation}
|\lambda_{i}| = \omega - 1\; , \;\;\; i = 1, 2, ..., n\;.
\label{eq:4}
\end{equation}
(Gebruik Stelling 11.4). Waarom kun je hier geen gebruik maken van
vuistregel 11.2?
\item De warmtegeleidings vergelijking in twee dimensies wordt opgelost met
de ADI methode:
\begin{eqnarray}
\frac{u^{*} - u^{n}}{\Delta t}&=&\frac{1}{2}(A_{x} u^{*} + A_{y} u^{n}) +
\frac{1}{2}f^{n}\label{eq:5}\\
\frac{u^{n+1} - u^{*}}{\Delta t}&=&\frac{1}{2}(A_{x}u^{*} + A_{y} u^{n+1})
+ \frac{1}{2}f^{n+1}\label{eq:6}
\end{eqnarray}
Hierin zijn $u^{n}, u^{n+1}, f^{n}, f^{n+1}$ vectoren, die de onbekenden
resp. de brontermen bevatten op verschillende tijdsniveaus en $A_{x}$ en
$A_{y}$ matrices die de tweede gedeelde differenties representeren in $x$-
resp. $y$-richting. Vergelijk deze methode met die van Crank-Nicolson:
\begin{equation}
\frac{u^{n+1} - u^{n}}{\Delta t} = \frac{1}{2}(A_{x} + A_{y}) (u^{n+1} +
u^{n}) + \frac{1}{2}(f^{n+1} + f^{n})
\label{eq:7}
\end{equation}
Laat zien, door eliminatie van de tussenstap $u^{*}$, dat de orde van het
verschil tussen beide methoden (in $\Delta t)$ gelijk is aan de orde van de
locale afbreekfout van Crank Nicolson. Wat betekent dit voor de locale
afbreekfout van ADI?
\item Oefening 16.5.
\end{enumerate}
\vspace{2cm}
\begin{center}
{\bf a27c en a108 inleveren v\'o\'or 1 april 1995}
\end{center}

\end{document}

