\documentstyle[12pt,a4wide,strl]{article}
\input psfig
\begin{document}
\noindent
\begin{center}
{\bf TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT}\\
{\bf Faculteit der Technische Wisunde en Informatica}\\%[2ex]
%{\bf Opgaven}\\
\vspace{1,5cm}
{\bf Numerieke Wiskunde b.o. (a27c)}\\
{\bf Numerieke Analyse CII (a108)}\\
{\bf Numerieke Methoden PDV (a255)}\\
{\bf 1995/96 Serie 1}
\end{center}
\vspace{1cm}
\begin{enumerate}
\item Oefening 3.10 (blz 48)
\item In plaats van (3.17) kan men ook oplossen:
\[
- \frac{d}{dx} e^{-vx} \frac{dy}{dx} = 0\;, \;\;\; y(0) = 0\;, \;\;\; y(1) =
1
\]
Met centrale differenties (zie oefening 3.3.a blz 36) ontstaat een positief
definitie matrix $A$.\\
Laat zien dat nu in de oplossing geen slingeringen optreden.\\
(Hint: veronderstel dat geldt: $u_{i-1} > u_{i}$ en $u_{i+1} > u_{i}$.)\\
Geef zelf een uitbreiding van deze methode voor het geval
\[
- y^{''} + v(x)y^{'} = f\;, \;\;\; y(0) = 0\;, \;\;\; y(1) = 1\;.
\]
(Hint: beschouw $\phi (x) = \int\limits_{0}^{x} v(t)st$).\\
Het bezwaar van deze methode is dat hij niet uitbreidbaar is naar 2
dimensies voor een plaataafhankelijk snelheidsveld.
\item Op de driehoek (0, 0), (1, 0), (0, 1) (zie tekening) beschouwen we
de pdv\\[2ex]
\begin{minipage}[t]{5cm}
\hspace*{0,5cm}\centerline{\psfig{figure=f1s1_95-96.eps}}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{10cm}
\vspace*{-4cm}
\[ 
- div\;k \nabla \varphi + \bm{u} \cdot \nabla \varphi = f
\]
met $\varphi, k, f$ en $u$ functies van $x$ en $y$.
Tevens nemen we aan dat het medium incompresibel is:
\[
div \; \bm{u} = 0
\]
\end{minipage}
\\[2ex]
Op de randen gelden de volgende randvoorwaarden:
\[
\begin{array}{llll}
x = 0\;: &\varphi = g_{1} &x - y = 1\;:& k\frac{\partial \varphi}{\partial
n} = 0\\
y = 0\;: &\sigma \varphi + k \frac{\partial \varphi}{\partial n} = g_{2} &
&
\end{array}
\]
Dit probleem wordt opgelost met een eindige volumemethode met een
equidistant rechthoekig grid.\\
Leid een $O(h^{2})$ discretizatie molecuul voor het interne gebied af.\\
(Hint: wegens de incompressibiliteit geldt: $u\nabla \varphi = div\;
(u\varphi)$\\
Laat zien hoe de randvoorwaarden op de 3 randen afzonderlijk behandeld
moeten worden, zodat de nauwkeurigheid $O(h^{2})$ blijft.\\
Aanwijzing: kies de knooppunten op de rand.
\end{enumerate}
\vspace{2cm}
\begin{center}
{\bf a108 en a27c inleveren v\'o\'or 1 december 1995}
\end{center}
\end{document}

