\documentstyle[12pt,a4wide,strl,epsfig]{article}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\noindent
{\large TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT}\\
{\sc Faculteit der Technische Wiskunde en Informatica}\\
\vspace{2cm}
\begin{center}
{\bf Numerieke Wiskunde b.o. (wi413mp)}\\
{\bf  Numerieke Analyse CII (wi413)}\\
{\bf  Numerieke Methoden PDV (wi311)}\\
{\bf  1998/99 Eerste Serie}
\end{center}
\vspace{2cm}
\begin{enumerate}
\item oefening 3.10 (zie dictaat)
\item Beschouw de vergelijking
\[
-\mbox{div}~k \nabla T + \bm{u} \cdot \nabla T = f
\]
op de driehoek als aangegeven op de tekening in oefening 3.15 van het
dictaat.
\\[2ex]
Als randvoorwaarde is gegeven
\begin{eqnarray*}
\mbox{op}&&x = 0: \;\;\;T = 1\\
\mbox{op}&&y = 0\;, \;\;\; 0 \leq x \leq 1/2\;\;\; T = 1 - x\\
\mbox{op}&&y = 0\;, \;\;\; 1/2 < x < 1 \;\;\; \partial T/\partial n = 0\\
\mbox{op}&&x + y = 1: \;\;\; 3u + k\partial T/\partial n = 0
\end{eqnarray*}
Hierbij zijn $k$ en $f$ gegeven funkties en is $\bm{u}$ een gegeven
snelheid.\\
$k$ en $f$ hangen af van de positie $(x, y)$.\\[2ex]
Maak een differentie schema dat consistent is van de tweede orde. (Gebruik
dus een eindige differentie methode). Besteed in het bijzonder aandacht aan
de verwerking van de randvoorwaarden op $x + y = 1$ en op $y = 0$.
\item De Stokes vergelijking voor een stroming met constante viskositeit
luidt:
\begin{eqnarray*}
&&-\mu \Delta u + \frac{\partial p}{\partial x } = 0\\
&&- \mu \Delta v + \frac{\partial p}{\partial y} = 0\\
&&~~~\mbox{div}~\bm{u} = 0
\end{eqnarray*}
Men wil deze vergelijking discretizeren m.b.v. een eindige volume methode op
het vierkant $(0,1) \times (0,1)$, gebruik makend van een equidestant
grid.\\
We nemen aan dat de snelheid $\bm{u}$ op de gehele rand is gegeven.\\[2ex]
We nemen een "staggered grid" aan zoals beschreven in het dictaat. De druk
$p$ wordt genomen in het centrum van de cel. Voor het discretizeren van de
continuiteitsvergelijking div $\bm{u} = 0$, kiezen we als controle volumes
de cellen uit het grid.\\[2ex]
Leid de discretizatie van de 3 vergelijkingen af.\\[2ex]
Hoe moeten de randvoorwaarden verwerkt worden, met name de tangentiele
snelheid. Hierbij is de eis dat de randvoorwaarden met $O(h^{2})$
nauwkeurigheid gediscretiseerd worden.
\end{enumerate}
\vfill
\begin{center}
{\bf wi413 en wi413mp inleveren v\'o\'or 1 december 1998}
\end{center}
\end{document}

