\documentclass{article}
\usepackage {strl,epsfig,a4}
\usepackage [dutch]{babel}
\usepackage {amsmath}
\pagestyle {empty}
\begin{document}
\noindent
\begin{center}
{\large\bf TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT}\\
{\bf Faculteit Informatietechnologie en Systemen}\\%[2ex]
%{\bf Opgaven}\\
%\vspace{1,5cm}
\medskip
{\bf Numerieke Analyse CII (wi4014)}\\
{\bf Numerieke Methoden PDV (wi3001)}\\
{\bf 2000/2001 Serie 3}
\end{center}
%\vspace{1cm}
Gegeven is het minimaliseringsprobleem:
\begin{equation}
\label{EQ-1}
\min \limits_{u,v} \int \limits_0^1 \frac{1}{2}
a_{11} \left(\frac{d u}{d x} \right)^2 +
a_{12} \frac{d u}{d x}  \frac{d v}{d x}+
\frac{1}{2} a_{22} \left(\frac{d v}{d x} \right)^2 -
b_1 u - b_2v~
dx
\end{equation}
met randvoorwaarden:
\begin{equation}
\label{EQ-2}
u(0) = g_1~~~~~~~~~~~v(1) = g_2
\end{equation}
Hierbij hangen de co\"{e}ffici\"{e}nten $a_{ij}$ af van $x$ en is de
symmetrische matrix $\bf A$ met co\"{e}ffici\"{e}nten $a_{ij}$
positief definiet voor elke $x  \in [0,1]$.
\begin{enumerate}
\item
Leid voor $u$ en $v$ een stelsel $2^e$ orde gewone DV's af door variatie rond
het minimum en leid tevens de natuurlijke randvoorwaarden af.
\\[2ex]
(Hint: stel $u~=~\hat{u}~+~ \varepsilon \phi$, 
$v~=~\hat{v}~+~ \varepsilon \psi$.
Aan welke betrekking moeten $\phi$ en $\psi$ voldoen op de rand?)
\item
Leid de Ritz vergelijkingen af voor het minimaliseringprobleem
\ref{EQ-1} met randvoorwaarden (\ref{EQ-2}).
\item
Beschouw het stelsel $2^e$ orde gewone DV's
\begin{eqnarray}
\label{EQ-3}
- \frac{d}{d x} \left( a_{11} \frac{d u}{d x} \right)
- \frac{d}{d x} \left( a_{12} \frac{d v}{d x} \right)
= b_1\\
- \frac{d}{d x} \left( a_{12} \frac{d u}{d x} \right)
- \frac{d}{d x} \left( a_{22} \frac{d v}{d x} \right)
= b_2 \nonumber
\end{eqnarray}
met randvoorwaarden
\begin{alignat}{3}
\label{EQ-4}
u&= g_1&\quad \text{en}\quad a_{12} \frac{du}{dx} + a_{22} \frac{dv}{dx} &= 0 
&&\quad \text{in } x=0 \\\nonumber
v&= g_2&\quad \text{en}\quad a_{11} \frac{du}{dx} + a_{12} \frac{dv}{dx} &= 0 
&&\quad \text{in } x=1 
\end{alignat}
Leid de zwakke formulering voor dit stelsel vergelijkingen af.
\item
Leid het stelsel Galerkin vergelijkingen af voor het stelsel DV's
(\ref{EQ-3}) met randvoorwaarden (\ref{EQ-4}).
\\
Wat is de relatie met het onder 2) afgeleide stelsel Ritz vergelijkingen?
\item
Bereken de elementmatrix en elementvector af voor het onder 4) afgeleide stelsel
Galerkin-vergelijkingen.
Gebruik lineaire elementen en maak gebruik van de Newton-Cotes regel.
\item
Geef aan hoe de randvoorwaarden verwerkt moeten worden.
\end{enumerate}
\medskip
\begin {center} {\bf wi4014 inleveren voor 1 maart 2001} \end {center}
\end{document}
