\documentstyle[11pt,hugepag,epsfig,strl]{article}
\topmargin=-2cm
\textheight=24cm
\parindent=0.0in
\pagestyle{empty}
\begin{document}
%
%\title{ }      %
%\author{ }     % Dit stukje zorgt ervoor dat de koptekst goed komt te
%\date{ }       % staan. Het levert een lege pagina op.
%\maketitle     %
%
{\large TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT}\\
{\large Faculteit Informatietechnologie en Systemen}\\
\vspace{2cm}
% Het volgende stuk moet worden ingevuld en aangepast
%
\begin{center}
        {\large\bf Practicum Opgave 1.1.5} \\
        {\large\bf Numerieke Analyse CII (wi4014)} \\
        {\large\bf Numerieke Methoden PDV (wi3001)} 
\end{center}
\begin{minipage}[t]{7cm}
%\begin{figure}[htb]
\vspace*{-12cm}
\hspace*{-25cm}
\centerline{\psfig{figure=torus.eps}}
%\end{figure}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{8cm}
\vspace{1cm}
Beschouw de torus uit de figuur. Deze torus wordt door de zon van
bovenaf beschenen. Gevraagd wordt het warmteevenwicht in de torus te
berekenen. Buiten de straling van de zon zijn er geen warmtebronnen.\\
De mathematische formulering van dit probleem luidt:
\begin{equation}
- \Delta T = 0
\label{een}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\displaystyle \partial T}{\displaystyle \partial n} + \alpha T =
f\;\; \;
\mbox{\rm \ op de rand}
\label{twee}
\end{equation}
Hierin is $T = (T_{torus} - T_{buiten}) * $ stralingsconstante, \\
$f$ representeert de warmtebron en $\alpha$ is een materiaal
constante.\\
De hoofdstraal van de torus is $R$, de bijstraal $r$.\\
De bronterm $f$ wordt gegeven door:
\[f = \left\{\begin{array}{ccc}
\sin \phi &\mbox{\rm \ voor} &0 < \phi < \pi\\
0 &\mbox{\rm \ voor} &\pi < \phi < 2\pi
\end{array}
\right.\]
\end{minipage}
\\[2ex]
Opgave:
\begin{itemize}
\item[a.]Leid het minimaliseringsprobleem voor (\ref{een}) onder de
randvoorwaarde (\ref{twee}) af.
\item[b.]Van welke symmetrie\"en kan gebruik gemaakt worden bij de
oplossing van dit probleem?
\item[c.]Voor het benaderen van de oplossing van het
minimaliseringsprobleem wordt de eindige elementenmethode gebruikt. Leid
de elementmatrices en vectoren af voor de interne elementen indien de
elementen in de doorsnede driehoekig zijn en een lineaire benadering
wordt gekozen.\\
Doe hetzelfde voor de lijnelementen.
\item[d.]Los het probleem op m.b.v. het SEPRAN pakket.\\
Gebruik $r = 1.5, R = 4$\\
Kies $\alpha = 2$ en los het probleem op met 2 verschillende
gridverfijningen.\\
Maak een print van de temperatuur alsmede een contourplot.
\item[e.]Verklaar het temperatuurbeeld van de contourplot.\\
\hspace*{\fill}z.o.z.
\item[f.]Voer dezelfde berekening uit voor $\alpha = 90$.\\
Verklaar waarom de temeratuur hier lager is dan in d.
\end{itemize}
\end{document}

