\documentstyle[11pt,hugepag,epsfig,strl]{article}
%\input psfig
\topmargin=-2cm
\textheight=24,5cm
\parindent=0.0in
\pagestyle{empty}
\begin{document}
%
%\title{ }      %
%\author{ }     % Dit stukje zorgt ervoor dat de koptekst goed komt te
%\date{ }       % staan. Het levert een lege pagina op.
%\maketitle     %
%
{\large TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT}\\
{\large Faculteit Informatietechnologie en Systemen}\\
\vspace{2cm}
% Het volgende stuk moet worden ingevuld en aangepast
%
\begin{center}
        {\large\bf Practicum Opgave 1.10.1} \\
        {\large\bf Numerieke Analyse CII (wi4014)} \\
        {\large\bf Numerieke Methoden PDV (wi3001)} 
\end{center}
%\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}[t]{7cm}
\vspace{0,5cm}
\centerline{\psfig{figure=fig161.eps,height=5cm}}
%\caption{ }
%\label{fig1}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{8,3cm}
\vspace{1,5cm}
De Reynoldsvergelijking beschrijft de druk in een smeringsvloeistof
(bijv. olie) tussen 2 cilinders. Beschouw het olielager uit de figuur
waarin 2 cilinders $c_{1}$ en $c_{2}$ met parallelle assen, doch
verschillende oorsprong $O_{1}$ en $O_{2}$. De binnenste cirkel $c_{2}$
draait met constante hoeksnelheid $w$ rond. De afstand tussen de 2
cilinders wordt gegeven door $h(x_{1})$.
\end{minipage}
%\end{figure}
\\[4ex]
De stroming in het lager kan beschreven worden door de algemene
Navier-Stokes vergelijkingen. Deze vergelijkingen zijn echter gecompliceerd
om op te lossen en men probeert ze vaak te benaderen.\\
In een lager is de afstand $h$ klein t.o.v. de lengte $L$ en de diameter $D$ 
van het buitenoppervlak en
kan men volstaan met de zogenaamde smal kanaal benadering van de
Navier-Stokes vergelijkingen. Hiertoe wordt het buitenoppervlak als het
ware opengeknipt en afgebeeld op de rechthoek $(x_{1}, x_{2}) \in (0, \pi D)
\times (0, L)$. De druk in de
''$h$'' richting wordt constant verondersteld en met dimensieanalyse volgt
dat de druk bij benadering voldoet aan de zgn. Reynoldsverge- \mbox{lijking:}
\begin{equation}
\mbox{div} ( - \frac{h^{3}}{12 \mu} \nabla p + \frac{h}{2} \bm{u}) = 0 \; .
\label{eq:1}
\end{equation}
Hierin is $p$ de druk $\mu$ de dynamische viscositeit, $h$ de afstand
tussen de cilinders en $\bm{u}$ een gegeven snelheid.\\[2ex]
Voor een berekening is het voldoende het gebied $0 \leq x_{2} \leq L/2$ te
beschouwen, omdat de drukopbouw symmetrisch is rond het vlak $x_{2} = L/2$.
\\[2ex]
Op de randen $x_{1} = 0$ en $x_{1} = \pi D$ gelden periodieke
randvoorwaarden vanwege het feit dat de cilinder is ''opengeknipt''. Op de
rand $x_{2} = 0$ geldt dat de druk gelijk aan de buitendruk is, welke we
gelijk aan $p = 0$ veronderstellen.\\[2ex]
Opgave:
\begin{itemize}
\item[a.]Leid het minimaliseringsprobleem behorend bij de
differentiaalvergelijking (\ref{eq:1}) af.\\
Op de symmetrie-as $x_{2} = L/2$ geldt een symmetrie randvoorwaarde, welke
als een homogene natuurlijke randvoorwaarde mag worden beschouwd. Beredeneer
hoe de periodieke randvoorwaarde verwerkt moet worden.\\
\hspace*{\fill}z.o.z.
\newpage
\noindent
\item[b.]Hoe luidt de natuurlijke randvoorwaarde op de symmetrie as?
\item[c.]Hoe luiden de periodieke randvoorwaarden?
\item[d.]Benader de oplossing van (\ref{eq:1}) m.b.v. de methode van Ritz.
Leid het stelsel Ritzverge- \mbox{lijkingen} af.
\item[e.]Leid de elementmatrix en elementvector voor het stelsel
Ritzvergelijkingen af, indien lineaire driehoeken worden gebruikt.
\item[f.]We gaan uit van de volgende fysische gegevens:
\[
\begin{array}{l}
h(x_{1}, x_{2}) = 8.2_{10^{-5}}(1 - e \; \cos \frac{2 x_{1}}{D})\; m\\
D = 0.05\;m\\
%2e/D = 0.4\\
e~\mbox{wordt resp. 0.001, 0.1, 0.5 en 0.95 gekozen}\\
\mu = 0.04 \; Ns/m^{2}\\
u_{1} = 2.04 \; m/s\\
u_{2} = 0 \; m/s\\
L = 0.05 \; m
\end{array}
\]
Hierbij is $e$ de excentriciteit van de twee cilinders.\\[2ex]
Bereken de druk met behulp van het SEPRAN pakket en maak een contourplot.
\item[g.]Voor de praktijk is de stabiliteit van een lager essentieel.
Grootheden waaraan men deze meet zijn de zgn. load $\bm{f}$ de attitude
angle $\varphi$, en het Sommerfeld getal $S$, gegeven door 
\[
\begin{array}{ll}
f_{h} = \int\limits_{\Omega} - p \; \sin \frac{2 x_{1}}{D} d \Omega
&(\mbox{horizontale component})\\
f_{v} = \int\limits_{\Omega} - p \; \cos \frac{2 x_{1}}{D} d\Omega
&(\mbox{verticale component})\\
|f| = \sqrt{f_{h}^{2} + f_{v}^{2}}&\\
\tan\;\varphi = f_{h} /f_{v}& \\
S = \frac{2\pi |f|}{100 L}
\end{array}
\]
Beredeneer waarom $f_{v} = 0$.\\[2ex]
Bereken $f_{h}, f_{v}, |f|, \varphi $ en $S$ m.b.v. SEPRAN.
\item[h.]
%In de berekening is de druk negatief geworden. In de praktijk is
%dat onmogelijk zodat cavitatie ontstaat.\\
%Een eerste aanzet om de cavitatie goed te benaderen is negatieve drukken
%in de integralen te vervangen door druk 0. Dit is de zogenaamde Sommerfeld
%benadering.\\[2ex]
%Pas deze benadering toe en bereken de getallen $f_{h}, f_{v}, |f|, \varphi$
%en $S$ opnieuw m.b.v. SEPRAN.
Als de excentriciteit $e$ toeneemt wordt de gradient van de druk steeds
groter. Verifieer dit voor de 4 waarden van $e$.\\
Een techniek om stijle gradienten vermijden is over te gaan op een nieuwe
onbekende $P = ph^{2}$.\\
Leid de DV (\ref{eq:1}) af in de nieuwe onbekende $P$.
\item[i.]Voor de onder h. afgeleide vergeijkingen bestaat geen equivalent
minimaliseringspro- bleem. 
Waarom niet?\\
Leid de zwakke formulering als mede de Galerkin vergelijkingen af.
\item[j.]Los het probleem nu op voor $P$ en transformeer het resultaat naar
$p$.\\
Vergelijk de resultaten
met de oorspronkelijke formulering.\\
Gebruik de waarden van $f_{h}$ en $f_{v}$ om de nauwkeurigheid van de
methode te bepalen.\\
Voer dit uit voor een grove mesh en voor enkele mesh verfijning. Gebruik de
waarde van de fijnste mesh als referentiewaarde.\\[2ex]
Wat is de conclusie? 
\end{itemize}
\end{document}

