\documentstyle[12pt,a4wide,strl,epsfig]{article}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\noindent
{\large TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT}\\
{\sc Faculteit Informatietechnology en Systemen}\\
\vspace{2cm}
\begin{center}
{\bf Numerieke Wiskunde b.o. (wi4012)}\\
{\bf  Numerieke Analyse CII (wi4014)}\\
{\bf  Numerieke Methoden PDV (wi3001)}\\
{\bf  2001/02 Eerste Serie}
\end{center}
\vspace{2cm}
\begin{enumerate}
\item Beschouw de PDV
\begin{equation}
- \frac{\partial}{\partial x}(k \frac{\partial u}{\partial x}) -
\frac{\partial}{\partial y}(k \frac{\partial u}{\partial y}) = f
\label{eq:1}
\end{equation}
met $k = k(x, y)$ een gegeven (positieve) funktie van $x$ en $y$.\\
De dv (\ref{eq:1}) moet opgelost worden op een vierkant gebied $(0, 1) 
\times (0, 1)$.  
\begin{equation} \mbox{Op de rand geldt de randvoorwaarde}~~~ u = 1
\label{eq:2}
\end{equation}
Voor het oplossen gebruiken we centrale differenties en een equidestant
rooster \\
$(\Delta x = \Delta y = h)$. 
\begin{itemize}
\item[a]Leid de differentie formule voor de dv (\ref{eq:1}) af.
\item[b]Het stelsel lineaire vergelijkingen wordt geschreven in de vorm
$A\bm{v} = \bm{F}$.\\
Laat zien dat de matrix $A$ symmetrisch is.
\item[c]We gebruiken het rooster van figuur 3.9 uit het diktaat.\\
Stel $v_{(j-1)(N-1)+i} = u_{ij}\quad , \quad i = 1, 2, ..., N-1, \quad j =
1, 2, ..., N-1$.\\
Kies $k(x, y) \equiv 1$ en geef de preciese vorm van de matrix $A$ en de
vektor $F$.
\item[d]Laat zien dat de matrix $A$ positief semi definiet is, als $k$
positief is. $k$ is nu weer een funktie van $x$ en $y$.
\end{itemize} 
\item Beschouw de vergelijking
\[
-\mbox{div}~k \nabla T + \bm{u} \cdot \nabla T = f
\]
op de driehoek als aangegeven op de tekening in oefening 3.15 van het
dictaat.
\\[2ex]
Als randvoorwaarde is gegeven
\begin{eqnarray*}
\mbox{op}&&x = 0: \;\;\;T = 1\\
\mbox{op}&&y = 0\;, \;\;\; 0 \leq x \leq 1/2\;\;\; T = 1 - x\\
\mbox{op}&&y = 0\;, \;\;\; 1/2 < x < 1 \;\;\; \partial T/\partial n = 0\\
\mbox{op}&&x + y = 1: \;\;\; 3T + k\partial T/\partial n = 0
\end{eqnarray*}
Hierbij zijn $k$ en $f$ gegeven funkties en is $\bm{u}$ een gegeven
snelheid.\\
$k$ en $f$ hangen af van de positie $(x, y)$.\\[2ex]
Maak een differentie schema dat consistent is van de tweede orde. (Gebruik
dus een eindige differentie methode). Besteed in het bijzonder aandacht aan
de verwerking van de randvoorwaarden op $x + y = 1$ en op $y = 0$.
\item De Stokes vergelijking voor een stroming met constante viskositeit
luidt:
\begin{eqnarray*}
&&-\mu \Delta u + \frac{\partial p}{\partial x } = 0\\
&&- \mu \Delta v + \frac{\partial p}{\partial y} = 0\\
&&~~~\mbox{div}~\bm{u} = 0\\
&&~~~~~\bm{u} = {u \choose v}
\end{eqnarray*}
Men wil deze vergelijking discretizeren m.b.v. een eindige volume methode op
het vierkant $(0,1) \times (0,1)$, gebruik makend van een equidestant
grid.\\
We nemen aan dat de snelheid $\bm{u}$ op de gehele rand is gegeven.\\[2ex]
We nemen een "staggered grid" aan zoals beschreven in het dictaat. De druk
$p$ wordt genomen in het centrum van de cel. Voor het discretizeren van de
continuiteitsvergelijking div $\bm{u} = 0$, kiezen we als controle volumes
de cellen uit het grid.\\[2ex]
Leid de discretisatie van de 3 vergelijkingen af.\\[2ex]
Hoe moeten de randvoorwaarden verwerkt worden, met name de tangenti\"ele
snelheid. Hierbij is de eis dat de randvoorwaarden met $O(h^{2})$
nauwkeurigheid gediscretiseerd worden.
\end{enumerate}
\vfill
\begin{center}
{\bf wi4012 en 4014 inleveren v\'o\'or 1 december 2001}
\end{center}
\end{document}

