TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT

Faculteit der Electrotechniek, Wiskunde en Informatica

TENTAMEN NUMERIEKE ANALYSE C1 (wi2021TA) donderdag 18 december 2003 9:00-12:00

1. Gegeven is de predictor corrector formule:

k_{1} = hf(x_{j}, u_{j})  (1)
k_{2} = hf(x_{j} + αh, u_{j} + αk_{1})  (2)
u_{j+1} = u_{j} + (1 − β)k_{1} + βk_{2}  (3)

voor het integreren van de DV y′ = f(x, y).

(a) Toon aan, dat de lokale afbreekfout O(h^{3}) is als αβ = \frac{1}{2} en anders O(h^{2}).

(b) Bepaal de versterkingsfactor van deze methode.

(c) Men gebruikt de methode voor het integreren van het stelsel:

\frac{dx}{dt} = ( \begin{matrix}0 & ω \\ −ω & 0 \end{matrix} ) x + f(t)  (4)

Hierin is x(t) = (x_{1}(t), x_{2}(t))^{T} en f(t) = (f_{1}(t), f_{2}(t))^{T} . Laat zien, dat dit stelsel alleen stabiel geïntegreerd kan worden als αβ > \frac{1}{2}. Geef voor dit geval een stabiliteitscriterium.

(d) Laat zien, dat integratie van het stelsel onder b) met de methode van Crank-Nicolson neutraal stabiel is, dat wil zeggen |C(λh)| = 1

2. (a) Bewijs voor ξ ∈ IR^{m}, b ∈ IR^{n} en n × m matrices A:

∥A(ξ + Δξ) − b∥^{2} = ∥Aξ − b∥^{2} + ∥AΔξ∥^{2} + 2(AΔξ, Aξ − b).  (5)

(Aanwijzing: (v, v) = ∥v∥^{2}.)

(b) Bewijs, dat als A^{T} Aξ = A^{T} b, voor elke x ∈ IR^{m} geldt:

∥Aξ − b∥ ≤ ∥Ax − b∥.  (6)

(Aanwijzing: Stel x = ξ + Δξ en maak gebruik van het resultaat onder a.) Leid hieruit af, dat de kleinste kwadraten oplossing van Ax = b wordt gegeven door:

A^{T} Ax = A^{T} b

(c) Er is onderzoek geweest naar letsel bij auto-ongelukken. In de tabel staat het gemiddelde gewicht (m) van een bepaalde klasse auto uitgezet tegen het percentage (p) van botsingen waarbij ernstig letsel optrad.

Type  Massa (m) Percentage (p)
topmodel  2500 kg  2
middenklasse  1500 kg  6
compact  1000 kg  8

Bepaal een lineair verband p = a_{1}m + a_{2}, dat in kleinste kwadraten zin zo goed mogelijk aansluit bij de metingen.

(d) Nadat airbags verplicht zijn gesteld nemen alle percentages af met 25% van hun oorspronkelijke waarde. Bepaal voor deze situatie opnieuw a_{1} en a_{2}.