\documentclass [dutch] {article}
\usepackage [dutch]{babel}
\usepackage {a4wide}
\usepackage {strl,amsmath}
%\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{palatino}
%\selectlanguage {dutch}
\pagestyle {empty}
\newcommand \al {\alpha}
\newcommand \bt {\beta}
\newcommand \gm {\gamma}
\newcommand \om {\omega}
\begin {document}
{\noindent \large TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT}\\
{\sc Faculteit der Electrotechniek, Wiskunde en Informatica}\\\bigskip
\begin {center}
TENTAMEN NUMERIEKE ANALYSE C1 (wi2021TA)\\
donderdag 18 december 2003 9:00-12:00\\\bigskip
\end {center}
%\footnotetext {\nonumber{\bf voor vervolg z.o.z}}

\begin {enumerate}
\item Gegeven is de predictor corrector formule:
\begin {align}
k_1 &= hf(x_j, u_j)\\
k_2 &= hf(x_j + \al h, u_j + \al k_1)\\
u_{j+1} &= u_j + (1-\bt) k_1 + \bt k_2
\end {align}
voor het integreren van de DV $y'=f(x,y).$
\begin {enumerate}
\item Toon aan, dat de lokale afbreekfout $O(h^3)$ is als
$\al\bt=\frac12$ en anders $O(h^2).$
\item Bepaal de versterkingsfactor van deze methode.
\item Men gebruikt de methode voor het integreren van het stelsel:
\begin {equation}
\frac {d \bm x}{dt} = \left(
\begin {array} {cc}
0&\om\\-\om&0
\end {array}
\right) \bm x + \bm f(t)
\end {equation}
Hierin is $\bm x (t) = (x_1 (t), x_2 (t))^T$ en $\bm f(t) = (f_1 (t),
f_2 (t))^T.$
Laat zien, dat dit stelsel alleen stabiel ge"integreerd kan worden als
$\al\bt > \frac12$. Geef voor dit geval een stabiliteitscriterium.
\item Laat zien, dat integratie van het stelsel onder b) met de methode
van Crank-Nicolson neutraal stabiel is, dat wil zeggen $|C(\lambda h)|=1$
\end {enumerate}
\item
\begin {enumerate}
\item
\newcommand \vx {\bm \xi}
\newcommand \dx {\Delta \vx}
Bewijs voor $\vx \in \IR^m$, $\bm b \in \IR^n$ en $n \times m$ matrices
$A$:
\begin{equation}
\| A (\vx + \dx) - \bm b \|^2 = \| A \vx - \bm b \|^2 + \| A \dx \|^2 +
2 (A \dx, A \vx - \bm b).
\end {equation}
(Aanwijzing: $(\bm v, \bm v) = \| \bm v \|^2$.)
\item
Bewijs, dat als $A^TA \vx = A^T \bm b$, voor elke $\bm x \in \IR^m$
geldt:
\begin{equation}
\|A\vx - \bm b\| \leq \|A\bm x - \bm b\|.
\end {equation}
(Aanwijzing: Stel $\bm x = \vx + \dx$ en maak gebruik van het resultaat
onder a.)

Leid hieruit af, dat de kleinste kwadraten oplossing van $A \bm x = \bm
b$ wordt gegeven door:
$$
A^TA \bm x = A^T \bm b
$$
\item Er is onderzoek geweest naar letsel bij auto-ongelukken. In de
tabel staat het gemiddelde gewicht ($m$) van een bepaalde klasse auto
uitgezet tegen het percentage ($p$) van botsingen waarbij ernstig letsel
optrad. 
\begin {center}
\begin {tabular} {|l|r|c|}
\hline
Type& Massa ($m$) & Percentage ($p$)\\
\hline\hline
topmodel& 2500 kg& 2\\\hline
middenklasse& 1500 kg & 6\\\hline
compact& 1000 kg& 8\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
Bepaal een lineair verband $p= a_1 m + a_2$, dat in kleinste kwadraten
zin zo goed mogelijk aansluit bij de metingen.
\item Nadat airbags verplicht zijn gesteld nemen alle percentages af met
25\% van hun oorspronkelijke waarde. Bepaal voor deze situatie opnieuw
$a_1$ en $a_2$.
\end {enumerate}
\end {enumerate}
\end {document}
