\documentclass [dutch,12pt] {article}
\usepackage {strl}
\usepackage [T1] {fontenc}
\usepackage {palatino}
\usepackage [dutch] {babel}
\newcommand \nal {\medskip\par\noindent}
\begin {document}
\hfill Delfgauw, 28 maart 1998\\
Beste Bert,\nal

Nauwelijks had ik mijn worsteling met WPNet 1.4 voltooid (ik heb het inmiddels
opgegeven om de linker kantlijn recht te krijgen), of ik werd weer opgeschrikt
door het volledig omgeploegde hoofdstuk 3. In ieder geval blijft er op die
manier leven in de brouwerij, hoewel ik me toch wel afvraag of we bij iedere
nieuwe versie weer discussie moeten voeren op A4 niveau. 
\nal
Allereerst, vind ik het een bijzonder goed idee om wat meer dan Cor dat deed te
exerceren met verschuivingen (horizontaal en verticaal) en schaalverandering.
In mijn A4 over exponenten en logaritmen had ik ook zo'n deelkern (die later
gesneuveld is), maar met name schaalveranderingen, die in de oude opzet via de
kettingregel liepen, verdienen het om voor het voetlicht te worden gehaald,
omdat zij zo bijzonder vaak voorkomen. (ook in omrekeningen van km/h naar m/s
etc). De behandeling via de kettingregel is naar mijn mening veel te zwaar en
leidt (denk ik) ook tot veel fouten.
\nal
Waar ik wel enigszins bezorgd over ben is hoe je hoofdstuk 4 verder invult,
omdat je natuurlijk de oude kern 2 en kern 3 (wortelfuncties en gebroken
functies (wat eigenlijk een rare kerntitel is als ik daar zo naar kijk)) naar
hoofdstuk 4 moet schuiven, waar je in principe maar \'e\'en kern hebt gewonnen
(kern 3). Maar je kunt misschien de negatieve machten met de quoti"entregel
doen? In ieder geval lijkt het mij goed, dat je daar v\'o\'or de komende
vergadering je gedachten over laat gaan. Zonder het hele plaatje lijkt mij geen
zinvolle discussie mogelijk.
\nal
De kernen 1 en 2 vind ik heel aardig zo. Na formulewerk met specifieke
afgeleiden in hoofdstuk 1 en 2 wat meer abstractie met algemene eigenschappen
in hapklare brokken!
\nal
Zou je de twee deelkernen van Kern 3 niet omdraaien? Nou zit er een rare hobbel
in het verhaal, terwijl je anders van $y=cf(x)$ (kern 2, tweede deelkern) via
$y = f(cx)$ naar ingewikkelder combinaties loopt. Misschien moet je zelfs $y =
f(cx)$ in kern 2 hebben, want uiteindelijk is dat \'o\'ok een
schaalverandering. Dan maar de doodzonde van drie deelkernen. (Misschien kan
het ook wel in twee.) Dat geeft ook wat meer lucht.
\nal
In het kleurvlak van de eerste deelkern van kern 3 zeg je:\\
"`De somfunctie $s = f + g:\quad s(x) = f(x) + g(x)$"'\\
en hetzelfde voor de andere combinaties. Deze subtiliteit lijkt me verspild aan
alle leerlingen (en misschien ook wel aan een paar leraren). ("`in de lineaire
topologische vectorruimte van functies defini"eren we de som van twee functies
door de puntsgewijze optelling."')\\
Mijn voorstel: verander dat in\\
"`De somfunctie $s:\quad s(x) = f(x) + g(x)$"' \\
en hetzelfde mutatis mutandis
voor de andere drie.
De zin over het domein van $q$ vind ik niet goed lopen. Mag doorsnede niet
meer? Of zoiets als "`Voor het domein van $q$ zijn bovendien de nulpunten van
$g$ uitgesloten."'
\nal
Hoewel de vondst om de productregel via de relatieve verandering te doen
bijzonder ingenieus is, vind ik (maar dat is misschien een kwestie van smaak)
het toch niet duidelijk. Als je helemaal niet over procenten praat, maar gewoon
over de kale verandering in die rechthoek, dan ziet iedereen uit de figuur dat
dat $f\Delta g + g \Delta f$ is en dat we over $\Delta f \Delta g$ niet lullen.
Dat is goed zat. We hoeven alleen nog maar door $\Delta x$ te delen en klaar is
Kees. 
\nal
Het kleurvlak is nu overvol: je behandelt:
\bit
\item Het {\em totaal} nieuwe begrip relatieve verandering, 
\item de relatieve verandering in een product, waarvan de formule eerst uit de
lucht valt om daarna via een wisseltruc uit de figuur te worden afgeleid
\item de productregel
\eit
Maar deze deelkern {\em heet} de productregel. {\em Die} moeten we dus afleiden
en al dat gedoe met de relatieve verandering hebben we helemaal niet nodig.
De relatieve verandering heb je eigenlijk alleen nodig in som 40. Maar die
identiteit volgt rechtstreeks uit de productregel, ook zonder dat je het hele
verhaal over relatieve verandering houdt. 
En bovendien, als je toch gaat stellen $f(x) = q(x) g(x)$ (dat is een typo in
40b), dan kun je net zo goed hieruit rechtstreeks de quoti"entregel afleiden. Of dat
dan zo mooi is is weer een ander verhaal, maar zeker niet ingewikkelder dan
zoals jij het doet.

Kortom, mijn voorstel is om de productregel te doen op de oude manier, zonder
relatieve verandering, want ik zie geen voordeel. De quoti"entregel deed Cor
via productregel en kettingregel, maar dat kan natuurlijk ook op de
bovenstaande manier of op de manier van 40b. Maar het blijft een lelijk ding.
Het is mij trouwens een raadsel waarom die quoti"entregel altijd in die (lastig
te onthouden) quasi-symmetrische vorm
$$
\frac {NT'-TN'}{N^2}
$$
wordt geschreven in plaats van het veel natuurlijker
$$
\frac {T'}N - \frac{TN'}{N^2}
$$
maar ook dat is weer een heel ander verhaal. 

Tot Zaterdag, Jos.
\par\bigskip\noindent
cc: Ron, Bert G, Johan


\end {document}
