\documentclass [12pt] {article}
\usepackage [dutch] {babel}
\usepackage {graphicx}
\newcommand \nal {\par\medskip\noindent}
\begin {document}
\hfill Delft, 17 dec 1977,
\nal
Beste Rob,
\nal
Hoewel ik niet aangewezen ben als een van degenen, die commentaar geeft
op jouw hoofdstuk 5, moet ik wel de fakkel van je overnemen (voor de
versies 2 en 3). Vandaar, dat ik enkele opborrelende gedachten wil
ventileren ter overdenking, zodat we daar op de vergadering 
over kunnen discussi"eren.

Allereerst moet ik mijn waardering uitspreken over de manier, waarop je
dit vrij magere onderwerp van vlees hebt voorzien.
\nal
In principe kan ik me heel goed vinden in het idee om het optimaliseren
te relateren aan concrete situaties die beschreven worden met
wiskundige modellen. Maar (en hier wringt de schoen) die modellen moeten
op de een of andere manier {\em verklarend} en {\em verhelderend} zijn.
Met jouw eigen natuurkundige achtergrond, weet je natuurlijk ook wel,
dat de beste modellen worden afgeleid uit `eerste principes'. Op die
grond, zijn alle valformules (en zink formules) etc uit de mechanica
(ook bij de leerling neem ik aan) bekend.

Voor een aantal door jou opgevoerde situaties, komt het bijbehorende
model niet erg overeen met wat je uit eerste principes, daarover zou
kunnen afleiden. De belangrijke vraag is natuurlijk of je dit erg vind
of niet en daar moeten we het in principe eerst over eens worden.

Mijn idee is, dat je bij elk model een verhaal moet hebben. Dat verhaal
hoeft niet per se in het boek, maar moet in ieder geval in de docenten
handleiding of zoiets. Als je dus schrijft de winst $W$ wordt gegeven
door de formule $W=85-10t+40 \sqrt t$, dan moet je een verhaal hebben in
de trant van: 85 is het beginkapitaal op 1 januari, 10$t$ zijn de vaste
kosten per maand als telefoon, energie en renteaflossingen. Wat kan 40
$\sqrt t$ zijn in deze context? Ik kan het niet bedenken. Bovendien gaat
de firma geheid naar de knoppen volgens dit model, omdat de kosten het
voor grote $t$ altijd gaan winnen van de opbrengst.

Om deze reden heb ik bij een groot aantal sommen wijzigingen voorgesteld
om de modellen binnen een re"ele context te krijgen. Ik stuur een copie
van deze brief ook naar de anderen, omdat ik het een tamelijk belangrijk
punt vind.

Tot zaterdag,
Jos.
\vfill
cc: Bert, Cor, Ron, Sieb, Niek.

\pagebreak
\nal
Kleurvlak eerste deelkern: vervang de formule door
$$ W=85 - 10t + \frac {20t^2}{1+t}$$

Dit komt overeen met het installeren van een nieuw machinepark, dat na
verloop van tijd 20 eenheden winst per maand moet opleveren, maar door
allerlei inloopmoeilijkheden duurt dat nog even. Dat is nog niet zo goed
als het zou kunnen zijn , nl.

$$ W=85 - 11t + \frac {21t}{1+20{\rm e}^{-t}}$$

maar als onze kindertjes dit al zonder kleerscheuren kunnen
differenti"eren, zal het toch niet meevallen om het nulpunt te bepalen.
\nal
10.
De formule van som 10 lijkt alleen geldig
op een beperkte range van r, want voor $r \rightarrow \infty$ wordt $L$
negatief. Trouwens, waarom is die formule zo raar opgeschreven? Is toch gewoon
$L = C - 20 \log r$ met $C=100+10\log 0.557$.

Mij lijkt het eerder iets als $L = 100 \log \frac {1 + \beta r^2}{0.1 + \beta
r^2}$
met $\beta$ nog vrij te kiezen. Dat geeft in de limieten ($r=0$ en
$r\rightarrow\infty$) in ieder geval het goede gedrag.
\nal
19. Onafhankelijk veranderlijke is $t$, niet $x$. Het aantal konijnen op
$t=0$ is 300, niet 200. (Wel goed in de grafiek.)
De formule $100(2+2^t-t^2)$ is niet erg realistisch. Zo'n ziekte
be"invloedt de groeifactor (in dit geval 2),  want er gaan er meer dood
dan normaal en de rest heeft minder zin om dat te doen waar konijnen zo
bekend om staan. Verder zou er eigenlijk in een populatie model een 
bovengrens moeten zitten (de maximale populatie die de habitat kan
ondersteunen.)

Een standaard populatiemodel ziet eruit als
$$\frac {Q_0 Q_\infty } {Q_0 + (Q_\infty - Q_0) {\rm e}^{-\alpha (t-t_0)}}$$

$Q_0$ populatie op $t_0$, $Q_\infty$ maximale populatie, die door de
habitat kan worden ondersteund. Dit model kan uit eerste principes
worden afgeleid. De populatie $Q$ voldoet aan de DV

$$Q' = \alpha Q (Q_\infty - Q)$$

die je vertelt, dat de toename evenredig is met het aantal aanwezige
individuen, maar dat de reproduktiviteit negatief wordt be"invloed door
schaarste etc.

Concreet voorstel: maak $\alpha$ een functie van $t$, bv $1-0.5t(4-t)= 0.5t^2 -
2t +1$. 

Een beetje ploeteren laat zien, dat de volgende kromme een mooi plaatje
geeft (en kan trouwens ook door de leerling worden gedifferentieerd.)

$$N(t) = \frac {400 }{1 +  {\rm e}^{-0.2t^3+t^2-t}}$$

Dat is nog niet zo erg mooi, maar het kan in ieder geval worden
gedifferentieerd. Voor $t>4$ is het ook niet realistisch meer.

\begin {figure} [htb]
\includegraphics [scale=0.3] {konijn.eps}
\end {figure}
\nal
23 Ik geloof er niets van, dat afvalstoffen exponentieel groeien.
Exponenti"ele groei is alleen mogelijk bij levendachtige materie en dan
nog...

Evenredig met de tijd, alla, (die fabriek dumpt natuurlijk per jaar
dezelfde kwantiteit en er wordt per een evenredige hoeveelheid
uitgefilterd of afgebroken...

Dus $C = (t-1)^2 t + 1$, daar kan ik mee leven.
\nal
25 Is niet een erg realistisch model. Als je je afvraagt wat
er in de limieten gebeurt, zie jem dat de plant
gaat krimpen voor $t>36$. Nou ja, dat kan natuurlijk niet.

Kan die onderzoeker niet iets ontdekken als $te^{-st}$? Een beetje handig
schuiven met $s$ en pats, je vindt hetzelfde extreem. 
\nal
Het model in het kleurvlak is niet zo overtuigend, ook al omdat het
discreet is. Dat is op zich niet zo erg, als het optimum wordt
aangenomen voor $q=100$ of zoiets, maar hier is het raar. 

Dat de
productie kosten {\em per kg} een term bevatten die evenredig is met het
aantal machines wil er bij mij trouwens ook niet in.
(De {\em totale} kosten natuurlijk wel, omdat je mannetjes moet hebben
rondlopen om de machines te bedienen en te onderhouden. Maar aangezien
elke machine de totale productie capaciteit ook verhoogt met een vast
aantal kilo's zorgt zoiets voor een {\em constante} term in de
kostprijs/kg).

\nal 
38 Dit model heeft weer zo'n wortel term, die ik helemaal niet kan
plaatsen. Uit eerste principes zou je een verhaal kunnen houden dat
het aantal evenredig is met het door de bakker bestreken areaal. En dat
areaal hangt samen met de prijs van zijn brood. (Als die bakker zijn
brood weggeeft, komen de mensen van heinde en verre. Hoever dat is,
hangt natuurlijk van de prijs van een buskaartje in relatie tot de
broodprijs af.)


Dus $q = \gamma \pi (R_0 - \alpha p)^2$, waarin $R_0$ de straal is van het
bestreken areaal bij gratis brood en $\alpha$ en $\gamma$ model
parameters.
Na wat heen en weer geschuif:

$$q = 200 (1-p/16)^2$$

komt ongeveer overeen met jouw model. (Geeft als optimale prijs iets als
f5,=, wat ook weer niet zo re"eel is)
Nog beter lijkt mij

$$q = 200 (1-p/10)^2$$

wat een maximum geeft voor $p$=3.50 of daaromtrent en dat klopt wel zo
ongeveer voor een Gelders tarwe van een goede warme bakker.
Wel erbij zeggen, dat $0\leq p\leq 10$.

In bijgaande figuur zijn de twee modellen met elkaar vergeleken (het
jouwe heb ik anders geschaald, anders kom je helemaal op een achterlijke
broodprijs uit: f8,= of zoiets, $q=200(1-\sqrt{p/10})$.
\begin {figure} [htb]
\includegraphics [scale=0.3] {bakker.eps}
\end {figure}

Verder lijkt het mij (maar dat is buiten de context van de som) niet erg
zakelijk van de bakker om zijn klanten te laten betalen voor een fout
die hij zelf heeft gemaakt.

\end {document}
