\documentclass [dutch] {article}
\usepackage {strl}
\usepackage [dutch] {babel}
\usepackage [T1] {fontenc}
\usepackage {palatino}
\newcommand \nal {\medskip\par\noindent}
\newcommand \com[1]{\nal{\sc #1}\nal}
\newcommand \ra {\rightarrow}
\newcommand \la {\leftarrow}
\newcommand \re {{\rm e}}
\begin {document}
\begin {center}
{\large Uitwerkingen hoofdstuk 6 versie 1 (eigenlijk 2)\\}
Jos van Kan
\end {center}
\begin {enumerate}
\item %opgave 1
\ben
\item 1950 \com {Maak figuur goed duidelijk}
\item 1900
\item Steeg minder snel tot 1950. Ging dalen na 1950.
\een
\item %opgave 2
\ben
\item rc negatief
\item In de linker figuur daalt de afgeleide, in de rechter figuur stijgt de
afgeleide.
\een
\item %opgave 3
% 3 schetsen gevraagd

\item %opgave 4
\ben
\item Op de GR. 
\item $f$ daalt afnemend voor $x<0$, stijgt toenemend voor $x>0$. 
De helling stijgt op $<\leftarrow, \rightarrow>$.

$g$ stijgt afnemend op $<\leftarrow, 0>$, toenemend op $<0, \ra>$. De
helling daalt op $<\leftarrow, 0>$, stijgt op $<0, \ra>$.

\com {Ik zou een interval specificeren voor $h(x)$.}

$h$ stijgt toenemend op $<0,\pi/2>$, stijgt afnemend op $<\pi/2, \pi>$, daalt
toenemend op $<\pi, 3\pi/2>$ en daalt afnemend op $<3\pi/2, 2\pi>$.
\een
\item %opgave 5
\ben
\item 1994--1996.
\item na 1996
\item in 1996.
\een
\item %opgave 6
\ben
\item 
\item $f'(x) = 3x^2 - 1$ met nulpunten $x=\pm \frac 1{\sqrt 3}$. \com
{Misschien is $f(x) = x^3-3x$ handiger.} $f$ stijgt afnemend op 
$<\la, -\frac 1{\sqrt 3}>$, daalt toenemend op $<-\frac 1{\sqrt 3}, 0>$,
daalt afnemend op $<0, \frac 1{\sqrt 3}>$ en stijgt toenemend op $\frac
1{\sqrt 3}, \ra>$.
\item $g' (x) = 4x^3 - 2x$ met nulpunten $x=0$ en $x=\pm \frac 1{\sqrt2}$. \com
{Misschien is $g(x) = x^4 - 2x^2$ handiger.} $g$ daalt afnemend op $<\la, -\frac
1{\sqrt2}>$, stijgt toenemend tot het buigpunt \com {op dit moment kunnen ze
dat nog niet bepalen, want de deelkern "`Hoe bepaal je het buigpunt?"' moet nog
komen} ergens tussen dit punt en 0 en stijgt dan afnemend vanaf
het buigpunt tot 0. De functie is symmetrisch t.o.v. 0, dus hierna herhaalt
alles zich, maar dan andersom.
\item \com {Je moet een aanwijzing geven hoe je dat moet doen, bijvoorbeeld
vraag eerst waar is de eerste afgeleide maximaal} Het buigpunt van $f$ zie je
onmiddellijk uit de grafiek: $x=0$. $g$ heeft twee buigpunten: \'e\'en op het
interval $<-\frac 1{\sqrt2}, 0>$ en \'e\'en op het interval $<0, \frac
1{\sqrt2}>$. Wegens de symmetrie van $g$ hebben deze buigpunten dezelfde
grootte, maar tegengesteld teken.
\een
\item %opgave 7
\ben
\item $x^3$, $x^3 + 1$ en $x^3 - 1$. En ook $x^{1999}$.
\item \com {Dat is een lastige.} $f(x) = \sqrt {|x|}$
\een
\item %opgave 8
\com {Het is me niet duidelijk, wat ik hier wordt verondersteld te zien. Kan je
dat niet wat meer sturen, bijvoorbeeld door specifiek te vragen naar de grootte
van de helling in het buigpunt?}
\item %opgave 9
\ben
\item De afgeleide van $f$ is $f'(x) = 3x^2-6x + 1$. De nulpunten van $f'$ zijn
$x=1\pm\sqrt\frac23$ \com {Die nulpunten van jou liggen altijd erg ongelukkig.
$g(x) = \frac13 x^3 - 3x^2 + 5x + 1$ komt wat mooier uit.} Dit komt overeen
met de toppen (en dalen) van de grafiek.
\item \com {Ik zou b) en c) omdraaien. Vraag eerst de hellingfunctie te
tekenen, dan naar de maxima/minima van de helling functie en dan pas naar het
buigpunt.}
\een
\item %opgave 10
\ben
\item $12x^3$
\item $2- (\ln 2)^2 2^x$
\item $-\frac1{x^2}$
\item $\frac1x$
\item \com {Is dat geen tikfout? Anders wel erg flauw} $6x$
\item $-6x + 8$
\item $f'(x) = \frac43 x (x^2-4)^{-\frac13}$\\
$f''(x) = -\frac89 x^2 (x^2 - 4)^{-\frac43} + frac 43 (x^2-4)^{-\frac13}$
\com {En een snoepje voor degenen die hier geen rekenfouten in maken. Wat een
rotding.}
\item $\frac2{x^3}$
\item $4{\rm e}^{2x+1}$
\item $6x^{-4}$
\een
\item %opgave 11
\ben
\item 1000
\item $N'(t) =9000{\rm e}^{-t}/(1+9{\rm e}^{-t})^2$. De afgeleide is altijd
positief, dus $N$ neemt voortdurend toe.
\item \com {dit ding nog een keer differenti"eren is niet zo gezellig.}
$$ N'' = 9000\frac {(1 + 9{\rm e}^{-t})^2 (-{\rm e}^{-t}) - {\rm e}^{-t} 2 (1 +
9 {\rm e}^{-t}) (-9 {\rm e}^{-t})} {(1 + 9{\rm e}^{-t})^4}$$
$N''$ wisselt van teken als de teller 0 wordt, dus als
$$ (1+9{\rm e}^{-t}) - 18 {\rm e}^{-t} = 0$$
\com {Modulo een paar rekenfouten. Deze som lijkt mij veel te moeilijk als
eerste na de contro. Zelfs in de doorwerking zou je er nog wat meer structuur
in moeten brengen. Een van de problemen is bijvoorbeeld, dat de
algebra"ische vaardigheid van de meeste leerlingen onvoldoende is om de 
nulpunten van de teller
te bepalen.}\nal
Niettemin vinden we een buigpunt bij $t= \ln 9$.
\een
\item %opgave 12
\ben
\item $f'(x) = 3x^2 - 3$.
\item Positief voor $<\la, -1>$, negatief voor $<-1, 1>$ positief voor $<1,
\ra>$.
\item $f(-1) = 4$ is een maximum, $f(1) = 1$ is een minimum. 
\item $f''(x) = 6x$.
\item De tweede afgeleide is negatief voor $x<0$ en positief voor $x>0$.
\item \com {Vraag je nu naar de extremen van de eerste afgeleide? dat is
volstrekt niet duidelijk.} De eerste afgeleide heeft een extreem voor $x=0$.
\een
\item %opgave 13
\com {Deze som kan hier niet, want de afgeleide van sin en cos is nog niet
behandeld}
\item %opgave 14
\ben
\item \com {Wat doe die e daar nou?}
$f'(x) = {\rm e} \left(x^{-2} - x^{-2} \ln x \right)$
\item De eerste afgeleide is positief op het interval $<0, e>$ en negatief op
het interval $<e, \ra>$.
\item Er is een maximum voor $x=e$ en wel $f(e) = 1$.
\item $f''(x) = {\rm e} \left( -2x^{-3}(1-\ln x) - x^{-3} \right)$ ofwel
$f''(x) = {\rm e} x^{-3} (2\ln x - 3)$
\item $f''(x)$ is negatief op het interval $<0, \exp (3/2)>$ en positief op het
interval $<\exp 3/2, \ra>$.
\item De eerste afgeleide heeft een minimum voor $x=\exp 3/2$ van $-\frac12
{\rm e}^{-2}$. \com {Dacht ik.}
\een

\item %opgave 15
\com {Ik miste de figuur, dus kon de vragen niet beantwoorden.}

\item %opgave 16
\ben
\item $f''(x) = 6x$. $f''$ is negatief voor $x<0$ en positief voor $x>0$. $f$
heeft dus een buigpunt in $x=0$.
\item $f''(x) = 20x^3 - 30x$. Er zijn nulpunten in $x=0$ en $x=\pm \sqrt
\frac32$ (com Jakkie). In ieder nulpunt wisselt $f''$ van teken en er zijn dus
drie buigpunten.
\item $f'(x) = -2x/(x^2+1)^2$ en $$f''(x) = \frac {6x^2-2}{(x^2+1)^3}$$
De tweede afgeleide heeft nulpunten voor $x=\pm\sqrt\frac13$ en wisselt daar
ook van teken.
\item $f(x)=x^\frac52$, $f''(x)=\frac {15}4 x^{\frac12}$. $f''$ heeft een
nulpunt voor $x=0$, maar wisselt niet van teken, 
want het definitiegebied van $f$
is $[0,\ra>$. \com {Eerlijk gezegd vind ik dit een beetje een instinker, en zou
je tenminste een hint moeten geven, dat daarnaar gekeken moet worden.}
\item $f''(x) = 2 \re - 4 \re^{2x}$. $f''$ heeft een nulpunt voor $\re^{2x} =
e/2$ ofwel $2x = 1 - \ln 2$, dus $x=\frac {1-\ln2}2$. Dit is een buigpunt, want
$f''$ wisselt daar van teken.
\item $f''(x) = -1/x^2 - 2/x^3$. $f''$ heeft een nulpunt in $x=-2$ maar dat
ligt buiten het definitiegebied van $f$. \com {Hiervoor geldt hetzelfde als
voor vraag d). In plaats hiervan, zou je een opgave moeten geven, waar f'' wel
0 wordt, maar niet van teken wisselt, zoals in $g(x) = x^4-4x^3+6x^2-12x+2$}
\een
\item %opgave 17
\ben
\item De tweede afgeleide van een exponenti"ele functie is w\'e\'er een
exponenti"ele functie, met dezelfde groeifactor. Alleen de beginwaarde kan
verschillen. Maar een exponenti"ele functie is tekenvast op zijn gehele
definitiegebied.
\item De tweede afgeleide van $\frac1x$ wisselt van teken in $x=0$. De functie
is daar echter niet 0, maar ongedefinieerd.
\item Omdat de raaklijn daar horizontaal loopt.
\een
\item %opgave 18
\ben
\item 
\item $f''(x) = 6x + 12$, er is een buigpunt in $x=-2$. De co"ordinaten van dit
buigpunt zijn $(-2, f(-2))$ ofwel $(-2, 16)$.
\item $f'(x) = 3x^2 + 12 x$. De helling in het buigpunt is $f'(-2) = -12$.
\item $y-16 = -12 (x +2)$ ofwel $y = -12x - 8$.
\een
\item %opgave 19
\ben
\item
\item De tweede afgeleide $N''(t)$ wordt gegeven door $N''(t) = 6at-135a.$ Er
is een buigpunt voor $6at - 135a=0$, dus voor $t=22,5$. In zoverre is het model
in overeenstemming met de gegevens. Om $a$ te bepalen berekenen we $N'(22,5)$.
$N'(t) = 3at^2-135at$ en voor $t=22,5$ levert dit $N'(22,5) = -1518,75 a$.
Volgens de gegevens is $N'(22,5)= 15000$. Dus
$a=15000/(-1518.75)=-9,87654321.$
\een
\item %opgave 20
\com {Het gegeven $a=0$ moet natuurlijk zijn $a\neq0$.}
\ben
\item De tweede afgeleide van $f$ is $f''(x) = 6ax+2b$. Deze heeft precies
\'e\'en nulpunt en wisselt daar ook van teken.
\item Dit buigpunt ligt in $x=-\frac b{3a}.$
\item Als dit een horizontaal buigpunt moet zijn, dan moet gelden $f'(-\frac
b{3a}) = 0$. $f'$ wordt gegeven door $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$. Substitutie van
$x=-\frac b{3a}$ levert 
$$ \frac {b^2}{3a} - \frac {2b^2}{3a} + c = 0$$ ofwel
$$ 3ac - b^2 = 0 $$
\com {Dit is niet zo'n geschikte som, hier zullen veel mensen moeite mee hebben
vanwege het gereken met letters. Ik zou $b$ en $c$ geven (bv $c=1$, $b=-1$) en
dan $a$ laten bepalen. Dat lijkt me moeilijk zat.}
\een
\item %opgave 21
\ben
\item 20 m/sec
\item 25 m/sec
\item 5m/sec
\item 1,25 m/sec$^2$
\een
\item %opgave 22
\ben
\item $a = \frac {100}5 = 20 {\rm m/sec}^2$.
\item $s = \frac12 at^2 = \frac 12 \cdot 20 \cdot 25 = 250$ m.
\een
\item %opgave 23
\ben
\item De tweede grafiek is een grafiek van de afgeleide van de functie uit de
eerste grafiek.
\item \com {Hier is de vraagstelling mij niet duidelijk. Bedoel je de
gemiddelde versnelling? Daar ga ik maar van uit}
Voor zover ik kan zien uit de figuur is de groeisnelheid na twee dagen 0,8
cm/dag en na vijf dagen 0,2 cm dag. Dat geeft een gemiddelde groeiversnelling
van
$$ \frac {0,2 - 0,8}{5-2} = -0,2\ {\rm cm/dag}^2 $$
\een
\item %opgave 24
\ben
\item 
\com {Ik zou doen: Bereken de snelheid voor t=1,9 en t=2,1}
\item $h'(t) = 20 - 10t$. Voor $t=2$ is h'(t) = 0.
\item Op t=1,9 is de snelheid 1 m/s. Op t=2,1 is de snelheid -1 m/s. De
versnelling wordt benaderd door $-2/0,2 = -10$ m/sec$^2$.
\item $h''(t) = -10$. 
\com {Conclusie? Wel de voorzichtige conclusie is, dat de versnelling op t=2
gelijk is aan de tweede afgeleide. De conclusie, dat de versnelling (dus)
gelijk is aan de tweede afgeleide is op zijn minst voorbarig en staat bekend
als Amerikaanse inductie (het afleiden van het universum uit \'e\'en enkele
waarneming). Wat altijd nog beter is dan Franse inductie. (het afleiden van het
universum uit geen enkele waarneming).}
\een
\item %opgave 25
$s = 2 - 2^t (\ln 2)^2$
\item %opgave 26
\com {Afgelegde weg in meters?}
\ben
\item $v(t) = s'(t) = 20 - 6t.$
\item De beginsnelheid van de auto was 20 m/sec.
\item $a = s''(t) = v'(t) = -6.$ De vertraging is 6m/sec$^2$.
\item De auto staat stil als $v=0$, dus na $t=20/6 = 3\frac13$~sec.
\com {O mijn God, een p som}
\item Als je neemt vertraging = -- versnelling, dan is de vertraging dus
$-x''(t) = 2q$.
\een
\item %opgave 27
\ben
\item Stel $p = b\cdot g^t$. Gegeven is $b = 1,6$ en $0,2 = 1,6 g^6$. Dus $g =
0,125^{\frac16} = 0,707$.
\item $p' = b \cdot g^t \ln g$. Voor $t=3$ is dit $p'(3) = -.196$ bar/uur.
\item $p''= b \cdot g^t (\ln g)^2$. Voor $t=3$ is dit $p''(3) = 
0,068$~bar/uur$^2$
\een
\item %opgave 28
\ben
\item Het vliegtuig raakt de grond op $t=1$ en stijgt dan weer op naar $h=200.$
\item \com {Het buigpunt in de duikvlucht zit op t=0, maar volgens jouw eigen
definitie (de tweede afgeleide moet van teken wisselen) is dat maar heel
dubieus. Ik zou de tijd wat opschuiven en het vliegtuig op zijn hoogste punt de
manoeuvre laten ingaan. ($t$ vervangen door $t-1$ in de hele formule.) Dan nog
blijft het een lastige som}
$h'= a \left( \frac 1{t^2+1} - \frac {2t^2}{(t^2+1)^2}\right)$, ofwel
$h' = a\frac {1-t^2}{(1+t^2)^2}$. 
$$h'' = a\left(\frac {-2t}{(1+t^2)^2} - \frac
{(1-t^2)\cdot4t}{(1+t^2)^3}\right)$$
De teller van deze uitdrukking wordt gegeven door $T = a ((-2t)(1+t^2) -
4t(1-t^2))$. Er zijn drie nulpunten: $t=0$ en $t=\pm\sqrt3$. Alleen het eerste
punt zit in de duikvlucht. (Volgt uit de grafiek).
\item
De versnelling is daar 0 (natuurlijk).
\item 
\com {Huh? De versnelling is natuurlijk altijd 0 in het buigpunt. En ik kan ook
niet begrijpen waarom de versnelling nooit lager kan zijn dan 9.8 m/sec$^2$, 
want er grijpen toch nog meer krachten aan dan alleen de zwaartekracht?}
\een
\item %opgave 29
\ben
\item Bij 60 km/u is de remweg 0.0075*3600 = 27 m. Bij 120 km natuurlijk 4 maal
zoveel ofwel 4*27 = 108 m.
\item De 'afmeting' per voertuig is remweg+voertuig, dus 27+4=31 m. De file
heeft een snelheid van 60 km/uur = 1000 m / per minuut. Dus 1000m file passeert
de teller in een minuut. In die 1000 m bevinden
zich ongeveer 1000/31 $\approx$ 32 voertuigen.
\item Bij 120 km/uur is de 'afmeting' per voertuig 4+108=112m. De file heeft
een snelheid van 120 km/uur=2 km/minuut. Dus 2000m file passeert de teller in
een minuut. In die 2000m bevinden zich ongeveer 2000/112 $\approx$ 18
voertuigen.
\item Het aantal voertuigen dat per minuut de teller passeert wordt kennelijk 
gegeven door (lengte van het stuk file dat de teller per minuut
passeert)/(lengte van voertuig + remweg). 
De lengte van het stuk file (in km) dat de teller per minuut passeert is de 
snelheid in km/uur gedeeld door 60. Om de lengte in meters te krijgen moet je
nog met 1000 vermenigvuldigen. Dus:
$$ N = \frac {1000v}{60(0.0075v^2+4)} = \frac {1000v}{0,45v^2 + 240} $$
\item $$N'(t) = 1000 \left(\frac 1{0,45v^2+240} - \frac {0,90v^2}
{(0,45v^2+240)^2}\right)$$
We vinden dus een nulpunt voor $v^2=240/0,45$ ofwel $v=\pm 23$~km/uur. Dus het
beste is met 23 km/u achteruit te rijden.
\een
\item %opgave 30
\com {Mijn bezwaren tegen opgave 30 heb ik al naar voren gebracht.}
\ben
\item $B'(t)=0$ voor $t=-1$. 
\item Daar is kennelijk een minimum, want $B\geq0$.
\item $B''(t)=0$ voor $t=\pm\tau$.
\item Voor positieve $t$ is daar de groeisnelheid het hoogst.
\een
\item %opgave 31
\ben
\item Het aantal bestellingen is klaarblijkelijk het totaal aantal pallets
(500) gedeeld door het aantal pallets per bestelling (x). 
\item Als het gemiddelde aantal pallets $\frac x2$ is en de opslagkosten per
pallet f 5,= dan zijn de totale opslagkosten dus $2,5 x$.
\item Met deze gegevens is de kostenfunctie $T(x) = 20000 + \frac {25000}x +
2,5x$.
\item We moeten $T$ minimaliseren als functie van $x$. Allereerst bepalen we
$T'$:
$$T'(x) = -\frac {25000}{x^2} + 2,5$$
Er zijn dus extremen voor $x=\pm100$. Voor $x=100$ is er een minimum. (De
afgeleide gaat van - naar +).
\item De totale kosten zijn nooit kleiner dan $20000 + 25000/100 +
2,5\cdot100=20500$. 
\com {Dat toont ook al aan, dat ons hele geoptimaliseer maar kruimelwerk is en
dat de vaste kosten het leeuwendeel opslokken. Kan je daar nog iets aan doen?}
\een
\end {enumerate}
\end {document}
\item %opgave
\ben
\een
