\documentclass [dutch] {article}
\usepackage {strl}
\usepackage [dutch] {babel}
\newcommand \nal {\medskip\par\noindent}
\newcommand \com[1]{\nal{\sc #1}\nal}
\newcommand \ra {\rightarrow}
\newcommand \la {\leftarrow}
\newcommand \re {{\rm e}}
\newcommand \hpi {\frac{\pi}2}
\newcommand \mpi[2]{\frac {{#1}\pi}{#2}}
\newcommand \mpit[2]{\frac {{#1}\pi t}{#2}}
\newcommand \mpix[2]{\frac {{#1}\pi x}{#2}}
\newcommand \rad {{\rm \ rad}}
\renewcommand \i {\item}
\renewcommand \deg {^\circ}
\begin {document}
\begin {center}
{\large Uitwerkingen hoofdstuk 7 versie 2\\}
Jos van Kan
\end {center}
\section {Kernen}
\begin {enumerate}
\item %opgave 1
\ben
\item 16 sec
\item 12 sec
\item
\een
\item %opgave 2
\ben
\item $P = 2\pi,\ A= 2,\ y=0$
\item $P = 2\pi,\ A= 1,\ y=2$
\item $P = 2\pi,\ A= 1,\ y=2$
\item $P = 2\pi,\ A= 2,\ y=-1$
\een
\item %opgave 3
\ben
\item $\pi/2$
\item $\pi/6$
\item $7\pi/6$
\item $-5\pi/12$
\item $180/\pi$
\item $720/\pi$
\item $45\deg$
\item $300\deg$
\een
\item %opgave 4
\ben
\i 0,14
\i $-1$
\i 0,71
\i $-0,65$
\i 0,87
\i $-1,00$ \com {Wat is precies de bedoeling van deze vraag? dat ze correct
afronden?}
\een
\item %opgave 5
\ben
\i $\sqrt{1-0,36} = 0,8$
\i $\pm\sqrt{1-0,25}=\pm\sqrt{0,75}=\pm 0,87$
\i $x^2+y^2=1$
\een
\item %opgave 6
\ben
\i $\sin t = \pm\sqrt{0,51} =\pm  0,71$
\i $\cos t = \pm\sqrt {0,9375}$. Omdat $\pi<t<3\pi/2$ is de cosinus negatief en
geldt $\cos t = -0,97$.
\een
\item %opgave 7
\ben
\i $\sin t = \pm\sqrt{1-p^2}$. Omdat $0<t<\frac12\pi$ is de $\sin t$ positief,
dus $\sin t = \sqrt{1-p^2}.$
\i Tussen $\pi/2$ en $\pi$ is $\cos t$ negatief. Er geldt dus: $\cos
t=-\sqrt{1-q^2}.$
\een
\item %opgave 8
\com {Nou, meneer, hij tekent die tweede functie niet, dus mijn ti-83 zal wel
kapot zijn.}
\com {Dat was trouwens pas zo na drie keer, want daarvoor had ik allemaal
tikfouten in $f$ en $g$.}
\com {Kennen ze die merkwaardige producten nog?}
\item %opgave 9
\ben
\i in $Q$ op $\pi-t$, in $R$ op $\pi+t$ en in $S$ op $2\pi-t$.
\i het punt $R$
\i $R=(-\cos t, -\sin t)$ 
\een
\item %opgave 10
\ben
\i $-\sin t$
\i $ \sin t$
\i $ -\cos t$
\i $ - \cos t$
\een
\item %opgave 11
\ben
\i \com {Hoe verwacht je dat ze dat gaan doen? Met symmetrie? Moet je dat niet
een beetje meer sturen?}
\i $\cos(\frac12\pi - t) = \sin t$
\i $\cos(\frac12\pi + t) = -\sin t$
\i $\sin(\frac12\pi + t) = \cos t$
\een
\item %opgave 12
\com {Een draaiend punt? Maar een punt heeft immers geen afmetingen (en kan dus
ook niet draaien). Voorstel: "`Een punt dat over de eenheidscirkel beweegt met
een snelheid van 1 rad/sec"'}
\ben
\i Met $\cos t$ komt $OA$ overeen, met $-\cos t$ $OB$.
\com {Een beetje moeite met deze formulering heb ik wel, want volgens het
gegeven zijn $OPA$ en $OQB$ {\em gelijk}, dus moeten ook de lijnstukken $OA$ en
$OB$ {\em gelijk} zijn. Het kan dus nooit waar zijn dat het ene lijnstuk + en
het andere $-$ is.}
\i \com {Dat weten we niet, dat hangt van de hoeksnelheid af. Maar bij 1
rad/sec:} $\pi - t$.
\i Dat volgt uit a) en b)
\i $P$ heeft co"ordinaten $(x_P, y_P)$. $Q$ heeft co"ordinaten $(-x_P, y_p)$.
Teken nu ook nog het punt $R$ met co"ordinaten $(-x_P, -y_P).$ Uit de figuur zie
dat tijdstip $\pi+t$ bij het punt $R$ hoort. Er geldt dus $(x_R, y_R) = (\cos
(\pi+t), \sin (\pi + t)) = (-x_P, -y_P) = (-\cos t, -\sin t).$
\i Uit d) volgt al $\sin (\pi + t) = -\sin t$. Teken je ook nog het punt $S$
met co"ordinaten $(x_P, -y_P)$ dan volgt op nagenoeg identieke wijze $\sin (-t)
= - \sin t.$
\een
\item %opgave 13
\ben
\i -0,8
\i 0,66
\i $\sin \hpi - b = \cos b = -0,75$
\i $\cos a - \hpi = \sin a = 0,6$
\i $\cos b+\pi = - \cos b = 0,75$
\i $\sin 2\pi - a = -\sin a = -0,6$
\een
\item %opgave 14
\ben
\i Ja, uit driehoeksongelijkheid.
\i Nee, een van de twee (of beiden) kan (kunnen) negatief zijn.
\i Ja, uit driehoeksongelijkheid.
\een
\item %opgave 15
\ben
\i $A(1,0)$, $B(\cos\mpi{}6,\sin\mpi{}6)=(\frac12\sqrt3,\frac12)$,
$K(\cos\mpi53, \sin\mpi53)=(\frac12, -\frac12\sqrt3)$
\i in $C$
\i $(\cos\mpi43, \sin\mpi43) = (-\frac12,-\frac12\sqrt3)$
\een
\item %opgave 16
\ben
\i $P(\mpi{}4)=(\cos\mpi{}4, \sin \mpi{}4)= (0,71;0,71).$
\i $t=\mpi{}4$, $t=\mpi94$ en $t=\mpi{13}4$
\i \com {Wat is dit voor een vervelend ding? Kun je niet iets nemen als
100$\pi$ seconden?}
$x(t)=y(t)$ betekent $t=0,25\pi$ of $t=1,25\pi$, maar natuurlijk ook als het
wiel een geheel aantal malen volledig heeft rondgedraaid. Dus bij beide
oplossingen kun je een veelvoud van $2\pi$ bijtellen.
Na een beetje proberen blijkt: $31\pi = 97,4$ en $32\pi=100,53$. Het eerste
tijdstip hierna, dat $x(t)=y(t)$ is $t=32,25 \pi = 101,32$.
\i $t=0$, $t=\pi$, $t=2\pi$, $t=3\pi$.
\i $P(1) = (\cos(1), \sin(1)) = (0,54; 0,84)$, $P(2) = (\cos(2), 
\sin(2)) = (0,42;
0,91)$ en $P(100) = (\cos(100), \sin(100)) = (0,86; -0,51)$
\een
\item %opgave 17
\ben
\i Bewegingsvergelijkingen: $x=2\cos t$, $y= 2\sin t$. Periode is $2\pi$.
\i $P(1) = (2\cos 1, 2\sin 1) = (1,08; 1,68)$, $P(2) = (-0,83;1,82)$ en $P(4) =
(-1,31; -1,51)$
\i $t=0$, $t=\pi$, $t=2\pi$, $t=3\pi$.
\i Met straal 10: $x=10\cos t$, $y=10\sin t.$
\een
\item %opgave 18
\ben
\i $P(1)=(\cos 2, \sin 2) =(-0,42; 0,91)$,\\ $P(2) = (\cos 4, \sin 4) =
(-0,65;-0,76)$ \\$P(4) = (\cos 8, \sin 8) = (-0,15; 0,99).$
\i Bewegingsvergelijking $x=\cos 2t$, $y = \sin 2t$. Periode is $\pi$.
\i Periode is $\hpi$.
\i Periode is $\mpi 2\omega$
\een
\item %opgave 19
\com {Opgave 19 is conceptueel knap lastig denk ik. Misschien kan je hem
beter in de doorwerking zetten. Hij is wel erg leuk.}
\ben
\i We doorsnijden de aarde met een vlak door de aardas en Amsterdam. (Zie
tekening.) De lijn die het middelpunt van de aarde met Amsterdam verbindt 
maakt een hoek van 52$\deg$ met het vlak waarin de evenaar ligt. 
De straal van de
cirkel die Amsterdam beschrijft wordt gegeven (zie tekening) door 
$$r = 6000 \cos
52 \deg= 6000 \times 0,61566 = 3694\ {\rm km}.$$
\i De aarde wentelt in 24 uur om zijn as. De hoeksnelheid van Amsterdam wordt
dus gegeven door $\omega = \mpi 2{24} = \mpi{}{12}$ rad/uur.
\i De bewegingsvergelijkingen van Amsterdam in het getekende stelsel zijn 
$x = 3694 \cos \mpit{}{12}$ en $y=3694 \sin \mpit{}{12}$, $t$ in uren.
\een
\item %opgave 20 
\ben
\i Aannemend, dat P op $\mpi{}4$ zit is de hoogte van $P$ $10 \sin \mpi {}4 =
7,07$ m ten opzichte van het draaipunt.
\i Ten opzichte van de $x-$as komt daar natuurlijk nog 7m bij, dus 14,07m.
\i Bewegingsvergelijkingen $x=10 \cos \frac t2$, $y=7+10\sin \frac t2$.
\een
\item %opgave 21
\ben
\i De hoeksnelheid $\omega=20\pi$, de periode $T=\frac {2\pi}{\omega} = 0,1$.
\i De straal van de cirkel die $A$ beschrijft is 3.
\i De co"ordinaten van het middelpunt $M$: $(5, 1)$.
\i \com {Nou, gewoon}
\een
\item %opgave 22
\ben
\i Grafieken
\i $P(0) = (1+2\cos 0, -2 + 2\sin 0) = (3, -2)$\\
$P(1) = (1+2\cos 1, -2 + 2\sin 1) = (2,08; -0,32)$\\
$P(2) = (1+2\cos 2, -2 + 2\sin 2) = (0,17; -0,18)$\\
$P(100) = (1+2\cos 100, -2 + 2\sin 100) = (2,72; -3,01)$
\i P bevindt zich op de $x-$as, als $y=0$, dus als $\sin \mpit {}4 = 1$. Dit is
zo voor $t=2$ en ook iedere volledige periode daarna. De periode
$T=2\pi/\frac14\pi$, ofwel $T=8$. De tijdstippen zijn dus $t=2, 10, 18 \dots$
\com {en dan praat ik maar even niet over $t= -6, -14 \dots$ want dan wordt
iedereen helemaal gek, natuurlijk.}
\een
\item %opgave 23
\ben
\i hoeksnelheid $\omega_P=\frac12$ rad/sec
\i $P$ legt per seconde $10 \omega_P = 5$ cm af. (De straal van de kleine
cirkel is immers 10.)
\i $Q$ legt per seconde \'o\'ok 5 cm af. De straal van de grote cirkel is 20
(tweemaal zo groot als die van de kleine cirkel). De hoeksnelheid van $Q$ is
dus $\omega_Q = 5/20 = \frac14$ rad/sec
\i Het middelpunt van de grote cirkel heeft co"ordinaten (60,30). (De
$y-$co"ordinaat is hethelfde als die van de kleine cirkel en bij de
$x-$co"ordinaat moet je 40 cm bijtellen.)
De bewegingsvergelijkingen van $Q$ zijn dus $x=60+20\cos \frac14 t$ en $y=30 +
20 \sin \frac14t$.
\i De afstand tussen $P$ en $Q$ is minimaal als $x_p=30$ en $x_Q=40$, met
andere woorden als $\cos\frac12t=1$ en $\cos\frac14t = -1$. Het eerste is het
geval op $t=0, 4\pi, 8\pi \dots$ het tweede op $t= 4\pi, 12\pi \dots$.
Klaarblijkelijk is dat laatste voldoende.
\een
\com {En nou nog een denkvraag voor de bollebozen: "`Wat gebeurt er als mijn
V-snaar 10\% slip heeft? Hoe zit het dan met die minimum afstand"'}
\item %opgave 24
grafieken
\item %opgave 25
grafieken
\item %opgave
\ben
\i 3, $\hpi$
\i 2, $\frac12$
\i 10, $4 \pi$
\i 1, $2\pi$
\i 3, 1
\i 2, $20\pi$
\een
\item %opgave 27
\ben
\i De bewegingsvergelijking van $x$ is $x=A \cos \omega t$. De figuur is een
cosinusoide. (Hij is maximaal in $t=0.$)
\i 6
\i Er gaan 4 volledige perioden in 10 seconden. De periode is dus 2,5 sec en de
hoeksnelheid $\omega = \mpi 2T = 0,8 \pi.$
\i Grafiek
\een
\item %opgave 28
\ben
\i Het bereik van $f$ is $[-1, 3]$
\i \com {O, mijn God, een $p$ som}
$p$ ligt dan buiten het bereik van $f$, dus $p<-1$ of $p>3$
\i De breedte van het interval is 8 en dat is precies tweemaal de amplitude.
Dus $a=4$. Het middelpunt van het interval is 2, dus $b = 2$.
\een
\item %opgave 29
\ben
\i 4
\i \com {Dit onderdeel lijkt mij te lastig in dit stadium van de strijd, want
in feite vraag je nu naar oplossingen van $\sin \omega t = \frac 35$}
De derde oplossing van $\sin x = \frac 35$ is $x = 0,644 + 2\pi = 6,93 \rad$
Er zijn (nog net) 3 snijpunten als $2\pi\omega = 6,93 \rad$, dus voor $\omega =
\frac {6,93}{2\pi} = 1,10$. De vierde oplossing van $\sin x = \frac 35$ is $x =
\pi - 0,644 + 2\pi = 8,78 \rad$ Er zijn (net) vier snijpunten als $2\pi\omega =
8,78 \rad$, dus voor $\omega = \frac {8,78}{2\pi} =1,40$. Er zijn dus drie
snijpunten als $1,10 \leq \omega < 1,40.$
\een
\item %opgave 30
\ben
\i \com {De lijn $l$ zie ik niet, maar ik neem maar even aan dat die door OP
loopt.} Voor $t=0$ ligt $Q$ $\mpi 23$ v\'o\'or op $P$ en dit blijft natuurlijk
zo als de propeller gaat draaien. De amplitude is 3. Voor de hoogte $h (t)$ 
van $Q$ geldt dus $h(t) = 3\sin (\mpi 23 + t).$ \com {Attentie, volgens mij is
dat $-$ teken fout. Kijk maar op $t=0$}
\i De hoeksnelheid verdubbelt, dus nu wordt $h(t) = 3 \sin (\mpi 23 + 2t).$
\i Dat gebeurt \com {nog steeds ervan uitgaande dat $l$ de lijn door $OP$ is}
wanneer $\mpi 23 + 2t = \pi$, dus $2t = \mpi {}3$, ofwel $t=\mpi {}6$.
\i grafiek
\een
\com {Ik vind dat gedoe met die beginhoeken een beetje raar, Ron. Volgens mijn
gevoel (en ook conform de normale tekenafspraken) maakt de lijn $OQ$ in het
kleurvlak een hoek $-\alpha$ met de positieve $x$-as. }
\item %opgave 31
\ben
\i $A=4$, $T=\mpi 2\omega=\pi$.
\i $\alpha = -\mpi{}3$ \com {Vind ik dus} Co"ordinaten van $Q$ op $t=0$
$x=2$, $y=-2\sqrt3$.
\i Als $2t=\mpi{}3$ ofwel $t=\mpi{}6$.
\i grafiek
\een
\item %opgave 32
\ben
\i $y(t) = 3 \sin 2(t+ \mpi{}3)$.
\i De beginhoek $\alpha = \mpi23$. \com {Vind ik dus}
\i $\mpi23$ tijdseenheden geleden.
\i Door een verschuiving van $\mpi{}4$ in positieve richting of een verschuiving
van $\mpi34$ in negatieve richting.
\i $y(t) = 3 \sin (\pi t + \mpi{}4)$, $\alpha = \mpi{}4$ \com {Vind ik dus},
een kwart tijdseenheid geleden passeerden we de $x$-as. Een verschuiving over
$\frac12$ in positieve richting.
\een
\item %opgave 33
Allemaal grafieken.

\item %opgave 34
De bewegingsvergelijkingen zijn $x=2 + 3 \cos (\mpit {}3 + \alpha)$, $y=4+3\sin
(\mpit {}3 + \alpha)$. Omdat op $t=0$ $Q$ op het hoogste punt is moet gelden
$y(0) = 7$, dus $\sin \alpha = 1$. Dus $\alpha = \mpi{}2$.
\item %opgave 35
\ben
\i In \'e\'en seconde worden twee perioden afgelegd, en de amplitude is 2 (cm).
De afgebeelde functie wordt (dus) gegeven door $f(t) = 2\sin \mpit 25$ en het
gevraagde tijdstip is de oplossing van de vergelijking $\sin \mpit 25 =
\frac12.$ \com {Ik begin zo langzamerhand te vermoeden, dat de bedoeling is om
het uit de grafiek af te lezen. Je kunt het m.i. dan ook beter formuleren met
"`Lees af uit de grafiek, op welk \dots etc "'}
\i De andere tijdstippen zijn ongeveer $t=0,2$, $t=0,54$ en $t=0,71$
\een
\com {Moet je in het kleurvlak niet vermelden, dat je een oplossing krijgt met
de $\sin^{-1}$--toets?}

\item %opgave 36
\ben
\i $t=0,30 + 2k\pi$, $t=2,84 + 2k\pi$, $k$ geheel.
\i $t=-0,20 + 2k\pi$, $t=3,34 + 2k\pi$, $k$ geheel.
\i Geen oplossingen. \com {Is dat de bedoeling?}
\i $t=-0,64 + 2k\pi$, $t=3,78 + 2k\pi$, $k$ geheel.
\een
\item %opgave 37
\ben
\i $t=\mpi 32$ en $t=\mpi72$.
\i $t=\mpi{}6$, $t=\mpi56$, $t=\mpi{13}6$ en $t=\mpi{17}6.$
\i Geen oplossingen.
\i $t=0$, $t=\pi$, $t=2\pi$, $t=3\pi$ en $t=4\pi.$
\een
\item %opgave 38
\ben
\i $h(t) = 1 + 4 \sin (t + \mpi 34).$ \com {Misschien moet je erbij zetten wat
je als horizontale as moet nemen. Het maakt natuurlijk geen verschil, maar
toch.}
\i Grafiek
\i Voor deze tijdstippen geldt: $h(t) = 0$ ofwel $\sin (t + \mpi34) =
-\frac12$. Dit heeft oplossingen $t + \mpi34 = -\mpi {}6 + 2k\pi$ en $t+\mpi34
= \mpi76 + 2k\pi$. Bekijken we alleen oplossingen voor positieve $t$, dan
krijgen we: $t= \mpi {13}{12} + 2k\pi$ en $t= \mpi 5{12} + 2k\pi$. $k$ niet
negatief, geheel.
\i Per rondje is $Q$ $\mpi {13}{12} - \mpi {5}{12} = \mpi 8{12} = \mpi 23$
sec onder water.
\een
\item %opgave 39
\ben
\i grafiek
\i $f(\mpi{}3) = \frac 12$.
\i Voor $t=\mpi{}3 + 2k\pi$ en $t=-\mpi{}3 + 2k\pi.$
\een
\com {Opmerking over tekst in kleurvlak: op grond van de symmetrie vind je ook
$t=-0,64$ en op grond van het periodieke karakter de verschoven oplossingen.}
\item %opgave 40
\ben
\i $t=0,93 + 2k\pi$ en $t=-0,93 + 2k\pi$.
\i $t=2k\pi$
\i $t=0,84 + 2k\pi$ en $t=-0,84 + 2k\pi$.
\i $t=\mpi{}3 + 2k\pi$ en $t = -\mpi{}3 + 2k\pi.$
\een
\item %opgave 41
\ben
\i Dit treedt op als $\sin 2\pi t = \frac12$ ofwel $2 \pi t = \mpi{}6 + 2k\pi$
en $2\pi t = \mpi56 + 2k\pi$. De oplossingen zijn dus $t= \frac 1{12} + k$ en
$t = \frac5{12} + k$, $k$ geheel.
\een
\item %opgave 42
\com {O mijn God, een $p$ som}
\ben
\i Voor $p=1$ en $p=-1$ heeft de vergelijking precies \'e\'en oplossing.
\i Voor $-1<p<1$ heeft de vergelijking twee oplossingen.
\i Voor $p>1$ en $p<-1$ heeft de vergelijking geen oplossingen.
\een
\com {Misschien is het beter om de volgorde b, c, a te nemen: de generieke
gevallen eerst, de uitzondering laatst. Dan is het ook duidelijker m.i. waar je
heen wilt.}
\item %opgave 43
\ben
\i Het bereik van de cos is het interval $[-1, 1]$. Als $\frac 1p$ daarbuiten
valt heeft de vergelijking geen oplossing, dus $-1<p<1$.
\een
\item %opgave 44
\com {Alweer een draaiend punt. Sinds Euclides heeft een punt geen afmetingen
en kan (dus) niet draaien. Maak er maar "`loopt"' van.}
\ben
\item $x(t) = \cos t.$
\i $t=\mpi{}3 + 2k\pi,\ k= 0, 1, \dots$ en $t=-\mpi{}3 + 2k\pi,\ k=1, 2, \dots$
\i $x(t) = \cos 2t.$
\i $t =\mpi{}6 + k\pi,\ k=0, 1, \dots$ en $t= -\mpi{}6 + 2k\pi,\ k=1, 2, \dots$
\i \com {Dit onderdeel bungelt er een beetje bij}
$2t = 2,42 + 2k\pi$, dus $t = 1,21 + k\pi$ en $t=-1,21 + k\pi.$
\een
\item %opgave 45
\ben
\i $3t = 2k\pi$, dus $t=\mpi{2k}3.$
\i $5t = \pm \mpi{}6 + 2k\pi$, dus $t = \pm \mpi{}{30} + \mpi {2k}5.$
\i $2t = k\pi$, dus $t=\mpi k2.$
\i $4t = -0,34 + 2k\pi$ dus $t=-0,085 + \mpi k2$ of $4t = 3,48 + 2k\pi$ dus
$t=0,87 + \mpi k2.$
\een
\item %opgave 46
\ben
\item Grafiek
\item Er moet dan gelden $V(t) \geq 34$, dus $4\geq 10 \sin \mpit {}4$.
Er geldt: $\sin \mpit {}4 = 0,4$ voor $\mpit{}4 = 0,41 + 2k\pi$ dus $t = 0,52 +
8k$ en $\mpit{}4 = 2,73 + 2k\pi$ dus $t=3,47 + 8k$. Het gevraagde interval is
dus $0,52<t<3,47$ en de gevraagde tijd bedraagt $2,95$ jaar.
\een
\com {Wel zijn wij, van de comissie modelbewaking, heel benieuwd naar de reden
van dat geslinger in de populatie.}
\item %opgave 47
\com {En alweer zo'n draaiend punt}
\ben
\i Voor de hoogte $h$ geldt de bewegingsvergelijking $h (t)= \sin t$, dus
$h(0,5) = 0,48$.
\i Het punt is in $Q$ op tijdstip $t=\pi - 0,5 = 2,64$.
\i Het punt is in $P$ op de tijdstippen $t=0,48 + 2k\pi$, $k=0, 1, \dots$ en in
$Q$ op de tijdstippen $t = 2,64 + 2k\pi$, $k=0, 1, \dots$
\een
\item %opgave 48
\ben
\i $3t-1=0,43 + 2k\pi$ en $3t-1 = 2,71 + 2k\pi$. Dit geeft $t = 0,48 + \mpi
{2k}3$ en $t=1,24 + \mpi {2k}3.$
\i $2-t=-\mpi{}6 + 2k\pi$ en $2-t = \mpi 76 + 2k\pi.$ Dit geeft $t = 2+\mpi{}6
+ 2k\pi$ en $t = 2-\mpi 76 + 2k\pi$.
\i Dit komt overeen met $\sin (\pi t - \mpi {}4) = 0,2$, dus $\pi t = 0,2 +
\mpi{}4 + 2k\pi$ en $\pi t = \mpi 54 - 0,2 + 2k\pi$. Dit geeft $t =
\frac{0,2}\pi + \frac14 + 2k$ en $t = \frac 54 - \frac{0,2}\pi + 2k.$
\i $2t = 3t + 2k\pi$ en $2t = \pi - 3t + 2k\pi$, dus $t=2k\pi$ en $5t = \pi +
2k\pi$ ofwel $t=\mpi {}5 + \mpi {2k}5.$
\een
\item %opgave 49
\ben
\i $\cos t = \sin (t + \mpi{}2)$
\i $\sin t = \sin (t + \mpi{}2)$
\i $t + \mpi{}2 = \pi - t + 2k\pi$, dus $2 t = \mpi {}2 + 2k\pi$ en $t =
\mpi{}4 + k\pi.$
\i $\sin 2t = \sin (t + \mpi{}2)$, dus $2t = t+\mpi{}2 + 2k\pi$ en $2t = \pi -
t - \mpi{}2 + 2k\pi.$ Dit geeft $t=\mpi{}2 + 2k\pi$ en $3t = \mpi{}2 + 2k\pi$
ofwel $t = \mpi{}6 + \mpi{2k}3.$
\een
\item %opgave 50
\com {En alweer een draaiend punt}
\ben
\i $x(t) = \cos t$, dus $x(0,5) = 0,88$. 
\i Het bevindt zich nogmaals op $x=0,88$
in $t=2\pi-0,5=5,78$.
\i $t=2\pi+0,5$ en $t=4\pi-0,5$.
\een
\com {Kleurvlak: Ikzelf vind het veel makkelijker om $A = \pm B + 2k\pi$ te nemen, maar
dat is waarschijnlijk een kwestie van smaak}
\item %opgave 51
\ben
\i $3x = 2x - \mpi{}4 + 2k\pi$ of $3x = -2x + \mpi{}4 + 2k\pi$. Dit geeft
$x=-\mpi{}4 + 2k\pi$ en $5x= \mpi{}4 + 2k\pi$ ofwel $x=\mpi{}{20} + \mpi
{2k}5.$
\i $1-x = x + 2k\pi$, dus $x=\frac12+k\pi$. De andere mogelijkheid, $1-x = -x +
2k\pi$ geeft natuurlijk geen oplossing.
\i $x = -2x + 2k\pi$, dus $x = \mpi {2k}3.$ De andere mogelijkheid is $x = 2x +
2k\pi$ en dit geeft $x=2k\pi$. We tellen er nu natuurlijk een paar dubbel, maar
dat is ook juist, dat zijn dubbele nulpunten.
\i $\cos (2x+1) = \cos (x - \mpi{}2)$, dus $2x+1= x - \mpi{}2 + 2k\pi$ en
$x=-1-\mpi{}2 + 2k\pi$. De andere mogelijkheid is $2x+1 = -x + \mpi{}2 + 2k\pi$
en dit geeft $x = -\frac13 + \mpi{}6 + \mpi{2k}3$
\een
\item %opgave 52
\ben
\i De ongelijkheid is equivalent met $\cos \mpix {}2 > \frac 12$. Gelijkheid
treedt op voor $\mpix{}2 = \mpi{}3 + 2k\pi$ en $\mpix{}2 = -\mpi{}3 + 2k\pi$,
ofwel $x=\frac23 + 4k$ en $x=-\frac23 + 4k$. Uit de grafiek zien we, dat aan de
ongelijkheid voldaan is voor $0<x<\frac23$, $\frac {10}3<x<\frac{14}3$ en $\frac
{22}3<x<\frac {26}3.$
\i De ongelijkheid is equivalent met $\cos (x - \mpi{}2) > \cos (x)$. Gelijkheid
treedt op voor $x-\mpi{}2 = x + 2 k\pi$, maar dit heeft geen oplossingen, of
$x-\mpi{}2 = -x + 2k\pi$ met oplossingen $2x = \mpi{}2 + 2k\pi$ ofwel
$x=\mpi{}4 + k\pi.$ Uit de grafiek lezen we af, dat aan de ongelijkheid voldaan
is voor $\mpi{}4<x<\mpi54$ en $\mpi94<x<10$
\i $-\cos x = \cos (x + \pi)$ (zie formulekaart), dus gelijkheid treedt op voor
$\pi x = 1 - 2\pi x + \pi + 2k\pi$, ofwel $3\pi x = 1 + (2k+1)\pi$ en $x=\frac
1{3\pi} + \frac {2k+1}3.$ De andere mogelijkheid is $\pi x = 2\pi x - 1 - \pi + 2k\pi$ ofwel $\pi x = 1 + (2k+1) \pi$, dus $x=\frac 1\pi + 2k+1$.
Uit de grafiek lezen we af, dat aan de ongelijkheid is voldaan voor:
\com {Errm, heb je {\em zelf} geprobeerd deze som te maken? Ik kan niet zoveel
aflezen uit de grafiek, ben ik bang.
Een stuk of twintig intervallen schat ik zo. Het zou een stuk opknappen, denk
ik, als je de factor $\pi$ weglaat, dus $\cos x > \cos 1-2x.$}
\i $-\sin x = \sin (x+\pi)$, dus gelijkheid treedt op voor $2x = x+\pi + 2k\pi$
of $2x = - x + 2k\pi$. Dit geeft $x=(2k+1)\pi$ en $x=\mpi{2k}3$. Uit de grafiek
lezen we af, dat aan de ongelijkheid is voldaan voor: $0<x<\mpi23$,
$\pi<x<\mpi43$, $2\pi<x<\mpi83$, $3\pi<x<10$.
\een
\item %opgave 53
\ben
\i Een week bevat $7\times24 = 168$ uren. De vraag is dus hoeveel nulpunten
$\sin \frac12 t$ heeft op het interval [0,168]. $\sin \frac12t = 0$ betekent
$t=2k\pi$, $k=0, 1, 2, \dots$, $\frac {168}{2\pi} = 26,7$, dus $k=0, 1, \dots,
26$ Er wordt dus 27 keer een waterstand van 2,80 m gemeten in \'e\'en week.
(Dat klopt wel, want het is ongeveer 4 maal per dag dood tij.)
\i We lossen eerst de ongelijkheid $h(t) > 1,8$ op. Gelijkheid treedt op voor
$\sin (0,5 t) = -\frac 1{1,4}$ dus
\ben
\item $0,5 t=-.80 + 2k\pi$ ofwel $t=-1,60 + 4k\pi.$
\i $0,5 t = 0,80 + \pi + 2k \pi$ ofwel $t=1,60 +(4k+2)\pi$.
\een
Uit de grafiek lezen we af, dat aan de ongelijkheid voldaan is voor
$-1,60<t<1,60 + 2\pi$. De maximale duur is dus $3,20 + 2\pi = 9,48$ uur.
\een
\end {enumerate}
\section {Test}
\begin {enumerate}
\item %opgave 1
\ben
\i De periode $T = 10$, dit is gelijk aan $\mpi2\omega$, dus $\omega = \mpi{}5$
\i $x = 4 \cos \mpit {}5$, $y= 5,5 + 4\sin \mpit{}5.$
\i grafiek
\i $\omega=\mpi25$, de beginhoek $\alpha = \mpi{}2$. De vergelijkingen worden:
$x = 4 \cos \mpit 25 + \mpi{}2$, $y=5,5 + 4 \sin \mpit 25 + \mpi{}2$. \com {
De echte
uitslovers onder ons merken dan nog op, dat $\cos \phi + \mpi{}2 = -\sin \phi$
en $\sin \phi + \mpi{}2 = \cos \phi$, hetgeen leidt tot de
bewegingsvergelijkingen $x = - 4\sin \mpit 25$ en $y = 5,5 + 4 \cos \mpit 25.$
}
\een
\item %opgave 2
\ben
\i Uit de eenheidscirkel zien we $-\sin t = \sin (-t)$, dus $-\sin(-t) = \sin
t$.
\i $\cos t = 1 - 2\sin^2\frac12t$, dus $\sin \frac 12t=\pm \sqrt
{\frac12-\frac12\cos t}$
\com {Omdat ik zo verschrikkelijk geleerd ben weet ik dit toevallig, maar hoe
kunnen die arme kindertjes dat nou? Uit de eenheidscirkel kan {\em ik} het niet
halen. Of zie ik wat over het hoofd?}
\i Uit de cirkel: $\cos 2\pi - t = \cos -t = \sin (\mpi{}2-t).$
\i $\sin (\mpi32 - t) = -\cos t = -\sqrt{1-\sin^2 t}.$
\een
\item %opgave 3
Grafieken
\item %opgave 4
\ben
\i $\sin t = -0.8$, $t=-0,93 + 2k\pi$ of $t=0,93 + (2k+1)\pi.$
\i $\cos t = 0.15$, $t=1,42 + 2k\pi$ of $t=-1,42 + 2k\pi.$
\i $2t = 2-t + 2k\pi$, $t=\frac 23 + \mpi{2k}3$ of $2t = \pi - 2 + t + 2k\pi$,
$t=-2 + (2k+1)\pi.$
\i $\cos 3t = \cos (t-\mpi{}2)$, $3t = t-\mpi{}2 + 2k\pi$, $t=-\mpi{}4+k\pi$ of
$3t = \mpi{}2-t + 2k\pi$, $t=\mpi{}8 + \mpi k2$
\een
\item %opgave 5
\ben
\i Als je niet nadenkt is het makkelijk: $\bar T = 12.$ Als je wel nadenkt is
het veel moeilijker, je moet dan sommeren van 0 tot 359 en delen door 360. Je
moet dan echt {\em heel} goed nadenken: voor alle positieve cosinussen is er
een negatieve van dezelfde grootte. \com {Een moeilijke som voor een slimme
leerling, makkelijk voor een domme.}
\i Langste dag: $16\frac12$ uur. Kortste dag: $7\frac12$ uur.
\i Grafiek
\i We moeten oplossen de ongelijkheid $12 - 4,5 \cos \mpix 2{360} > 10$, 
dat betekent
$\cos \mpix 2{360} < \frac 2{4,5}$. Dit geeft gelijkheid voor $\mpix 2{360} =
1,11 + 2k\pi$ en $\mpix 2{360} = -1,11 + 2k\pi$. Dit geeft: $x = 63.6 + 360k$
en $x=-63,6 + 360k$. Uit de grafiek lezen we af $63,6<x<296,4$ En voor
geheeltallige oplossingen $n$ moet klaarblijkelijk gelden $64 < n < 296$.
Volgens het hekjes--paaltjes theorema (het aantal paaltjes is het aantal hekjes
plus 1) geeft dat $296 - 64 + 1 = 233$ dagen langer dan 10 uur. 
\com {Maar ik kan er natuurlijk makkelijk een naast zitten.}
\een
\end {enumerate}
\section {Herhaling}
\begin {enumerate}
\item %opgave 1
\ben
\i $(0,12)$
\i De periode $T=3sec=\mpi2\omega.$ De hoeksnelheid is dus $\omega = \mpi23$
rad/sec.
\i $x=4\cos\mpit23$, $y=12 + 4\sin\mpit23.$
\i $x=2\cos\mpit23$, $y=12 + 2\sin\mpit23.$
\i \ben 
\i De periode $T=1.5sec=\mpi2\omega.$ De hoeksnelheid is dus $\omega = \mpi{}3$
rad/sec.
\i $x=4\cos\mpit{}3$, $y=1{} + 4\sin\mpit{}3.$
\i $x=2\cos\mpit{}3$, $y=12 + 2\sin\mpit{}3.$
\een
\een
\item %opgave 2
\com {Van dat draaiende punt zal ik nou niks meer zeggen.
$W$ staat niet in de tekening. De formulering is niet helemaal
duidelijk. Je bedoelt de tijdstippen, dat het punt in $Q$, $R$, etc t/m $W$
is?}
\ben
\i$\mpi38$, $\mpi58$, $\mpi78$, $\mpi98$, $\mpi{11}8$, $\mpi{13}8$, $\mpi{15}8.$
\i $-\mpi{13}8$, $-\mpi{11}8$, $-\mpi98$, $-\mpi78$, $-\mpi58$, $-\mpi38$,
$-\mpi{}8.$
\een
\item %opgave 3
\ben
\i $BR$, $CT$, $DV$, maar natuurlijk ook $GB$, $SC$, $UD$, $WA$.
\i $\sin (\pi - t)$ wordt voorgesteld door $SC$, de lijn stukken zijn gelijk en
de sinussen hebben hetzelfde teken.
\i Nee. De lijnstukken zijn wel gelijk, maar de sinussen hebben tegengesteld
teken.
\i $\sin (2\pi - t) = \sin (-t) = - \sin (t)$.
\i $\cos (\pi - t) = - \cos t$, $\cos (2\pi - t) = \cos t.$

\een
\item %opgave 4
\ben
\i nee
\i nee
\i ja
\i nee
\een

\item %opgave 5
\ben
\i Ik schat 0,1 sec, maar het kan ook wel 0,11 sec moeten zijn. \com
{Uit de figuur is dat moeilijk af te lezen. De tekening omvat niet een
complete periode, en de extremen liggen 5,5 tot 6 hokjes uit elkaar. Dus
$T=0,12$ zou ook nog wel kunnen. Misschien kun je de extremen pal op een
roosterlijn leggen?}
\i Uitgaande van $T=0,1$ is $\omega= 20 \pi$
\i De maximale spanning is 4V.
\i De evenwichtslijn ligt bij $(4-2)/2=1$ V.
\een
\item %opgave 6
Grafieken
\item %opgave 7
Grafieken
\item %opgave 8
\ben
\i $t = -0,41 + 2k\pi$ en $t=0,41 + \pi + 2k\pi = 0,41 + (2k+1)\pi.$
\i $t = 0,79 + 2k\pi$ en $t=-0,79 + 2k\pi.$
\i $t = 0,34 + 2k\pi$ en $t=-0,34 + (2k+1)\pi$
\i $t = 0,64 + 2k\pi$ en $t = -0,64 + 2k\pi$
\i $t = 0,32 + k\pi$ en $t = -0,32 + (k+\frac12)\pi$
\i $t = 3,65 + 4k\pi$ en $t = -3,65 + 4k\pi$
\i Geen oplossingen
\i $t = \mpi43 + 8k\pi$ en $t= -\mpi43 + 8k\pi$
\een
\item %opgave 9
\ben
\i $A=B + 2k\pi$ of $A= -B+2k\pi$
\i $2t = t+1 + 2k\pi$, dus $t = 1 + 2k\pi$ en $2t = -t-1 + 2k\pi$, dus
$3t = -1 + 2k\pi$ en $t=-\frac13 + \mpi {2k}3$
\i $t-1 = 3t+1 + 2k\pi$, $2t=-2+2k\pi$ dus $t=-1+k\pi$. De andere
mogelijkheid is $t-1=-3t-1 + 2k\pi$, $t=\mpi k2$.
\i $3t = 4-t + 2k\pi$, $t=1+\mpi k2$. Of $3t=t-4+\pi + 2k\pi$,
$t=-2+(k+\frac12)\pi$.
\een
\item %opgave 10
\ben
\i $\cos t = \sin (t+\mpi{}2)$
\i $\sin (-t) = -\sin t = \sin (t+\pi)$, dus $\sin (\mpi{}4 - 2t)=\sin
(2t -\mpi{}4 + \pi) = \sin (2t+\mpi34)= \sin ([2t + \mpi{}4] +
\mpi{}2)=\cos(2t + \mpi{}4)$.
\i $\sin t = \cos (t-\mpi{}2)$, dus $2t + \mpi{}4 = t-\mpi{}2 + 2k\pi$,
dus $t=-\mpi34 + 2k\pi$.
Of $2t+\mpi{}4=\mpi{}2 - t + 2k\pi$, dus $t=\mpi{}{12} + \mpi{2k}3$
\i $\frac12t-\pi = 2t+\mpi{}2 + 2k\pi$, $t= -\pi + \mpi{4k}3$, of
$\frac12t-\pi = -2t-\mpi{}2 + 2k\pi$, $t=\mpi{}5 + \mpi{4k}5$
\een
\item %opgave 11
\ben
\i $h_p = 0,4 \sin 2t$, 
\i $h_q = 0,4 \sin 3t + \mpi{}2$
\i $2t = 3t + \mpi{}2 + 2k\pi$, $t=-\mpi{}2 + 2k\pi$ en $h_p=h_q= 0$
of $2t = \pi - \mpi{}2 - 3t + 2k\pi$, $t = \mpi{}{10} + \mpi{2k}5$
\ben 
\i op $t=\mpi{}{10}$, $h_p=h_q=0,4\sin \mpi{}5 = 0,24$
\i op $t=\mpi{}2$, $h_p=h_q=0,4\sin \pi = 0$
\i op $t=\mpi9{10}$, $h_p=h_q = 0,4\sin \mpi95 = -0,24$
\i op $t=\mpi{13}{10}$, $h_p=h_q = 0,4\sin \mpi{13}5 = 0,38$
\i op $t=\mpi{17}{10}$, $h_p=h_q = 0,4\sin \mpi{17}5 = -0,38$
\een
\een
\end {enumerate}
\end {document}
\item %opgave
\ben
\een
