\documentclass [a4paper] {book}
%\usepackage {strl}
%\include {nehyph2}
\usepackage [dutch] {babel}
\usepackage [T1] {fontenc}
%\usepackage {palatino}
\setcounter {chapter}{3}
\include {netwtmpl}
\newcommand \e {{\textstyle e}}
\newcommand \ddt [1] {\frac {d #1}{dt}}
\newcommand \ddx [1] {\frac {d #1}{dx}}
\newcommand \ddtau [1] {\frac {d #1}{d\tau}}
\newcommand \al {\alpha}
\renewcommand \max {{\makebox{\scriptsize max}}}
\markboth {\sl \hfill Hoofdstuk 4. Continue Dynamische Modellen} 
{\sl Jos van Kan, B1.5, versie A4}
\pagestyle {myheadings}
\begin {document}
\chapter {Continue Dynamische Modellen}
\begin {Kern} {Dynamische modellen}
\begin {deelkern} {Van gewone taal naar formuletaal}
{\em(Plaatje van kegel, bol etc)\par\noindent}
\begin {opgave}
\item Voor de inhoud $I$ en de hoogte $h$ van een kegel geldt $I = c_k\cdot h.$
Bereken $c$ exact.
\item Als je van een kegel de hoogte laat vari"eren (en het grondvlak vast 
laat), verandert ook de inhoud. Laat zien, dat de {\em verhouding} $\frac Ih$
tussen inhoud en hoogte niet verandert.
\item Voor de inhoud $I$ van een bol geldt $I= c_b\cdot r^3$, waarin $r$ de straal
is.  Wat is $c_b$? Laat zien dat de verhouding tussen inhoud en derde macht van
de straal niet verandert.
\end {opgave}
\begin {kleurvlak}
Het quoti"ent van twee grootheden wordt ook wel de {\em verhouding} tussen die
twee grootheden genoemd. Is de verhouding tussen twee grootheden {\em constant},
dan heten die grootheden {\em evenredig}. Die constante heet {\em
evenredigheidsconstante}.

Is het {\em product} van twee grootheden constant, dan heten die grootheden {\em
omgekeerd evenredig}.

\bvb
\tr(Wet van Hooke)
Als je een veer uitrekt, is de op de veer uit te oefenen kracht evenredig met de
uitwijking. K = E x.
\nal
\tr(Gravitatiewet van Newton bij vaste afstand)
De door twee licha\-men op elkaar uit geoefende kracht is evenredig met het product
van de massa's. 
\nal
\tr(Electrostatische wet van Coulomb, bij vaste afstand)
De door twee lichamen op elkaar uitgeoefende kracht is evenredig met het product
van de ladingen.
\evb
\end {kleurvlak}
%\newpage
\begin {opgave}
\item De tweede wet van Newton geeft een verband tussen de kracht $K$ en de
versnelling $a$: $K = ma.$ Geef dit weer in woorden. 
\item Geef in een zin, waarin het woord "`evenredig"' voorkomt het verband
tussen oppervlakte van een cirkel en de straal. Wat is de
evenredigheidsconstante?
\item De wet van Boyle geeft een verband tussen de druk $P$ en het volume $V$
van een gas. Formuleer de wet in woorden. 
\end {opgave}
\end {deelkern}
\begin {deelkern} {Een andere kijk op groei}
% tweede deelkern van Kern 1
\begin {opgave}
\item Een $C^{14}$-atoom heeft kans $p$ om een $\alpha$-deeltje deeltje uit te
stralen tussen nu en over \'e\'en minuut. Bereken hoeveel $C^{14}$ atomen
vervallen per minuut uit een brok met  $10^{14}$ atomen. En uit een brok met
$10^{15}$ atomen.
\item Door het uitstralen van een alfa deeltje gaat het $C^{14}$ atoom over in
iets anders. Het aantal $C^{14}$ atomen neemt dus af. Waarmee is die afname per
minuut evenredig? Wat is de evenredigheidsconstante?
\item Beredeneer, dat de {\em afnamesnelheid} van de hoeveelheid $C^{14}$
evenredig moet zijn met de hoeveelheid $C^{14}$ die op dat moment aanwezig is.
\end {opgave}
\begin {kleurvlak}
Een model dat een verband geeft tussen de {\em verandering} van een grootheid en
die grootheid zelf heet een {\em dynamisch model}.\\
Verandert de grootheid continu, dan bestaat het model uit een verband tussen de
afgeleide(n) en de functie. Het verband noemt men {\em
differentiaalvergelijking} en het model heet een {\em continu dynamisch model}.\\
Verandert de grootheid sprongsgewijs, dan bestaat het model uit een verband
tussen twee opeenvolgende toestanden. Zo'n model heet een {\em discreet}
dynamisch model.
\bvb
\tr Het radio-actief verval van $C^{14}$ is een continu proces. De snelheid
van het verval is evenredig met de hoeveelheid op dat moment. Noem de
hoeveelheid $C^{14}$ op tijdstip $t$ $Q(t).$ De differentiaalvergelijking die
het radioactieve verval beschrijft wordt dan:
$$ \ddt Q = - \alpha Q$$
Dit is een continu dynamish model.
\tr Een kapitaal op een bankrekening staat uit tegen 4\% rente per jaar. 
Ieder
jaar wordt die rente bijgeschreven. Het kapitaal verandert dus sprongsgewijs.
Het verband tussen opeenvolgende toestanden wordt gegeven door:
$$ K_{n+1} = 1.04 K_n$$
Dit is een discreet model.
\evb
\end {kleurvlak}
\begin {opgave}
\item Een model voor exponenti"ele groei wordt ook gegeven door $$ Q(t) = Q(0)
\e^{-\al t}.$$ Waarom is dit geen dynamisch model?
\item {\it En nog een vraagje over continu <-> discreet}
\end {opgave}
\edk
\end {Kern}

\bke {Groei als continu dynamisch model}
\bdk {Oplossingen van het model}
\bopp {Niet alle functies voldoen aan zo'n dynamisch model.}
\item Bereken de afgeleide van $Q (t) = \e^{-\al t}.$
\item Leg uit dat $Q(t)$ aan het dynamische model $$\ddt Q = -\al Q$$ voldoet.
\item Verifieer, dat hetzelfde geldt voor $3Q(t)$ en $-5Q(t).$
\eopp
\bkv
Een {\em oplossing} van een differentiaalvergelijking is een functie, die 
voldoet aan het
verband dat door de vergelijking gegeven wordt. Een differentiaalvergelijking
heeft in het algemeen {\em meerdere} oplossingen. 
\bvb
De differentiaalvergelijking $\ddt N=0$ heeft oplossingen $N(t)=1$, $N(t)=-100$,
maar ook $N(t)=3141592.$ 
{\em Elke} constante is een oplossing van deze differentiaalvergelijking.
\evb
\ekv
\bop
\item Geef twee verschillende oplossingen van $\ddt Q = 2Q.$
\item Laat zien dat voor {\em elke} constante $C$ de functie $Q = C\e^{2t}$ een
oplossing is van deze differentiaalvergelijking.
\item Deze constante $C$ komt overeen met de $Q$ op een bepaald tijdstip. Welk
tijdstip?
\eop
\edk
\bdk {Geremde groei.}
{Plaatje }\\
\bopp {We bekijken het opwarmen/afkoelen van een fles melk. De omgeving heeft een 
temperatuur van $19^o$C. Voor de temperatuur $T$ van de fles geldt de 
differentiaalvergelijking  $$\ddt T = \al (19-T).$$
\opm {Deze is al afgeleid in de sommen van Kern 1}}
\item Als de begintemperatuur van de fles hoger is dan $19^o$C koelt de fles af.
Leg dit uit aan de hand van het model.
\item Stel het verschil tussen omgevingtemperatuur en flestemperatuur $v=19-T.$
Laat zien, dat voor $v$ geldt $$\ddt v=-\al v.$$
\item Geef de oplossing van het model voor $v.$ Wat is (dus) de oplossing van
het model voor $T$?
\eopp
\bkv
Een dynamisch model voor {\em geremde} groei wordt gegeven door de
differentiaalvergelijking $$\ddt Q = \al (Q_\max - Q).$$ Hierin is de constante 
$Q_\max$ de
maximale populatie die het milieu toestaat. De oplossingen van deze
differentiaalvergelijking wordt gegeven door 
$$
Q_\max - Q(t) = (Q_\max - Q_0) (\e^{-\al t})
$$
ofwel
$$
Q(t) = Q_\max  - (Q_\max - Q_0) (\e^{-\al t})
$$
\ekv
\bop 
\item Toon aan door terugsubstitutie, dat $Q = 1 - 0,5\e^{-t}$ de oplossing is van
$\ddt Q = 1-Q, \quad Q(0) = 0,5.$
\item Bereken exact $Q_\max$ en $\al$  in de differentiaalvergelijking
 $\ddt Q = 5 - 2Q.$ Bepaal ook alle oplossingen.
\eop
\edk
\eke 
\bke {Logistische groei}
\bdk {Een combinatie van exponenti"ele en geremde groei}
\bopp {Een griep--epidemie verspreidt zich over Nederland. De verspreiding van
de ziekte gaat door {\em besmetting}. Ieder die in aanraking is geweest met een
besmet persoon raakt zelf ook besmet. We gaan na hoe die besmetting in de tijd
verloopt.}  
\item In het begin zijn nog maar weinig personen besmet. In dat geval is de
{\em toename} in besmette personen per tijdseenheid evenredig met het aantal
besmette personen. Leg dat uit.
\item Als een besmet persoon iemand tegenkomt, die zelf al besmet is, vindt
natuurlijk geen besmetting plaats. Als de halve bevolking al besmet is en je
ontmoet iemand, wat is dan de kans dat deze persoon besmet is?
\item Een ontmoeting tussen twee personen  kan zijn BB, NB, of NN. (B=besmet,
N=niet besmet). Leg uit, dat de toename per eenheid van tijd in besmetten
evenredig is met het aantal besmetten maal het aantal niet besmetten.
\item 
Laat $N$ de totale bevolking zijn en $\beta$ het aantal besmetten.
Formuleer een continu dynamisch model voor het aantal besmetten 
door deze epidemie. 
\eopp
\bkv
Een groeimodel beschrijft de groei van een grootheid $y$. Is deze grootheid op
natuurlijke wijze naar boven begrensd door een grens $M$, dan wordt de groei
beschreven door de differentiaalvergelijking voor {\em logistische} groei:
$$ \ddt y = c\cdot y (M-y)$$
Hierin is $c$ een evenredigheidsconstante die van de actuele situatie afhangt.
\ekv
\bop
\item Geef aan welke grootheid in het model van de griepepidemie overeenkomt met
$y$ en welke met $N$. 
\item Wat is de natuurlijke bovengrens in de griepepidemie?
\item In werkelijkheid kan de epidemie maar op \'e\'en manier verlopen. Wat moet
je allemaal nog weten om de $\beta(t)$ te bepalen die het werkelijke verloop 
beschrijft? 
\eop
\bopp {Een {\em fractie} geeft een gedeelte aan van de natuurlijke bovengrens
$M$. Laat $\eta = \frac yM$. }
\item 
Laat zien, dat de differentiaalvergelijking voor $\eta$ gegeven 
wordt door 
$$ \ddt \eta = \gamma \eta (1-\eta) $$
\item Druk $\gamma$ uit in $c$ en $M$.
\eopp
\edk
\bdk {De oplossing van de logistische vergelijking}
\bopp {Bekijk $\eta = \frac 1{1+e^{-t}}.$}
\item Bereken de afgeleide van $\eta$.
\item Laat zien, dat $\eta$ voldoet aan de logistische vergelijking met $c=1$ en
$M=1$.
\item Teken de grafiek van $\eta$. Waar ligt de horizontale asymptoot? Verklaar
dit.
\eopp
\bkv
De algemene oplossing van de logistische vergelijking
$$ \ddt \eta = \gamma \eta (1-\eta) $$
wordt gegeven door
$$ \eta = \frac 1{1+Ae^{-\gamma t}}. $$
Hierin is $A$ een nog nader te bepalen constante.
\ekv

\bop \item Van de oplossing $\eta$ van de logistische vergelijking met $M = 1$ is
gegeven, dat $\eta(0) = 0,5$. Bereken $A$.
\item Stel $\eta(0) = \eta_0$. Druk $A$ uit in $\eta_0$.
\item Geef de algemene oplossing van $\eta$, maar gebruik hierin $\eta_0$ en
niet $A$. Controleer of inderdaad geldt $\eta(0)=\eta_0$.
\eop
\edk
\eke
\bke {Modelparameters}
\bdk {Schaling}
\bop 
\item Teken de grafiek van de oplossing van het dynamisch 
model $Q' = -2 (1-Q)$, met $Q(0) =2$.
\item Teken ook de grafiek van de oplossing van $P' = - (1-P)$ met $P(0) = 2$.
\item Maak nu de $t$-schaal  in de laatste grafiek tweemaal zo lang. Wat valt op?
Verklaar dit uit de formules.  
\eop
\bkv
De in de modellen optredende constanten, ook wel {\em parameters} genoemd, 
hebben vaak 
het karakter van een {\em schaling}. Dat betekent, dat zij uit de formules
verdwijnen door een geschikte keuze van de meet--eenheden.

\bvb

Kies de eenheden in de vergelijking $\ddt y = c (M - y)$ zodanig, dat de 
parameters verdwijnen.

\tr Deel links en rechts door $M$, dit geeft 
$$ \ddt {\frac yM} = c (1 - \frac yM)$$
\tr Kies dus $\frac yM=\eta$, dit geeft
$$ \ddt \eta = c(1-\eta)$$
\tr Kies $\tau = ct$, dit geeft
$$ \ddtau \eta = (1 - \eta)$$
\evb
\ekv
\bop 
\item Bepaal de algemene oplossing $\eta.$
\item Hoe krijg je hieruit de algemene oplossing $y$?
\eop
{In de rest van de opgaven wordt ook nog de logistische vgl ontluisd tot
$$ \ddt Q = Q(1-Q) $$ 
want zo hoort het natuurlijk ook en dan begrijp je tenminste ook waarom die
oplossing op het formuleblad er zo raar uitziet.}
\edk
\bdk {Beginvoorwaarde}
\bopp {plaatje van grafiekenschaar van $Q'=Q(1-Q)$}
\item Teken de oplossing van $Q' = Q(1-Q)$, waarvoor geldt $Q(0)=0,5$.
\item Is er een oplossing met $Q(0) = 0,5$ en bovendien $Q(1) = 0,6$?
\eopp
\bkv
Een dynamisch model zonder parameters heeft nog steeds meerdere oplossingen. Leg
je de waarde van een oplossing in \'e\'en punt vast, dan is er precies \'e\'en
functie die aan het dynamisch model voldoet. Zo'n punt wordt het {\em beginpunt}
genoemd en de bijbehorende functiewaarde de {\em beginwaarde}.

In de dynamische modellen die wij hebben bekeken komen alleen eerste afgeleiden
voor. Je kunt in die modellen de oplossing ook niet in meer dan \'e\'en punt
vastleggen, want dan is er geen functie meer
die aan alle voorwaarden voldoet.

Voor het volledig beschrijven van een technisch-fysisch-biologisch probleem met
behulp van een dynamisch model zijn er dus nodig:
\begin {enumerate}
\item De differentiaalvergelijking
\item De waarde van alle parameters
\item De beginvoorwaarde(n)
\end {enumerate}

In dynamische modellen waarin $x$ (een ruimte co"ordinaat) een rol speelt in
plaats van $t$ (een tijdco"ordinaat) wordt de nevenvoorwaarde ook wel {\em
randvoorwaarde} genoemd.
\ekv

\bop
\item  Van de logistische dv $\eta' = \eta(1-\eta)$ wordt de oplossing gegeven
door $\eta(t) = \frac 1{1+e^{-t}}$. Wat is de beginwaarde op $t=0$?
\item Wat is de oplossing van bovenstaande vergelijking met beginwaarde $\eta(1)
= 0,5$?
\item Leg uit, dat als de beginwaarde gegeven wordt door $\eta(s) = 0,5$,
de oplossing gegeven wordt door $\eta (t) = \frac 1{1+e^{s-t}}$. 
\item Laat zien, dat dit neerkomt op een {\em verschuiving} van de oplossing
langs de $t$-as.
\eop
\edk 
\eke 
\end {document}



