\documentclass [a4paper] {book}
\usepackage [dutch] {babel}
\usepackage [T1] {fontenc}
\usepackage {palatino}
\setcounter {chapter}{3}
\include {netwtmpl}
\newcommand \e {{\textstyle e}}
\renewcommand \exp [1] {{\e^{#1}}}
\newcommand \ddt [1] {\frac {d #1}{dt}}
\newcommand \ddx [1] {\frac {d #1}{dx}}
\newcommand \ddr [1] {\frac {d #1}{dr}}
\renewcommand \deg {$^\circ$}
\renewcommand \max {{\makebox{\scriptsize max}}}
\newcounter {Euler}
\newcounter {cirkel}
\newcounter {fles}
\markboth {\sl \hfill Hoofdstuk 4. Continue Dynamische Modellen} 
{\sl Jos van Kan, B1.5, eerste versie}
\pagestyle {myheadings}
\begin {document}
\chapter {Continue Dynamische Modellen}
\bke {Modellen}
\bdk {Statische en dynamische modellen.}
\bopp {Plaatje van concentrische cirkels}
\item Geef een formule die de oppervlakte $O$ van een cirkel uitdrukt in de
straal $r$.
\item Een kapitaal staat uit tegen 5\% rente per jaar. Op 1 januari 1999
bedraagt het $K_0$. Op 1 januari 2000 bedraagt het $K_1$. Druk $K_1$ uit in
$K_0$.
\item Na $i$ jaar bedraagt het kapitaal $K_i$. Het jaar daarop $K_{i+1}$.
Schrijf 
$K_{i+1}$ als $K_{i+1} = K_i + \dots.$
\eopp
\bkv
Vaak kan men een een grootheid uitdrukken in een formule die andere, meer
elementaire grootheden bevatten. Men spreekt dan van een {\em wiskundig model.}

\noindent Een model, dat de grootheid {\em rechtstreeks} uitdrukt in andere
grootheden heet een statisch model.

\noindent Een model dat de {\em verandering} van een grootheid uitdrukt in
andere grootheden heet een {\em dynamisch} model.

\bvb
\tr Het verband tussen de inhoud van een bol en zijn straal wordt gegeven door
$I=\frac43\pi r^3$. Dit is een statisch model. 
\tr Het verband tussen afgelegde weg $s$ en  tijd $t$ bij constante snelheid
$v=3$, $s = 3t$ is een statisch model.
\tr  Het model $$ \ddt s = 3$$ is een dynamisch model. Het drukt de {\em
verandering} van de afgelegde weg uit in andere grootheden.
\evb
\ekv

\bopp {De krant kopt "`De wereldbevolking verdubbelt iedere 30 jaar."'} 
\item Druk de wereldbevolking van nu uit in die van 30 jaar geleden. 
\item Druk de wereldbevolking van 60 jaar geleden uit in die van 30 geleden.
\item Stel een dynamisch model op, dat de krantenkop wiskundig formuleert.
\eopp

\bopp {Uit de mechanica kennen we de volgende formules voor valwetten (met $s$ de
afgelegde weg, $F$ de kracht, $m$ de massa en $g$ de versnelling van de
zwaartekracht):}
\item $s = \frac12 g t^2$
\item $F = m \frac {d^2 s}{dt^2}$ (2$^{\rm e}$ wet van Newton)
\item $F = mg$
\item Welke van deze formules zijn statische modellen en welke dynamisch? 
\eopp

\bopp {Dennis spaart iedere week f 10,- van wat hij met zijn krantenwijk
verdient. Hij zet dat niet op de bank, maar stopt het in zijn spaarpot, want hij
is nou eenmaal een beetje suf.}
\item Druk de inhoud van zijn spaarpot in week $i$, $S_i$ uit in de inhoud in de
voorafgaande week, $S_{i-1}$.
\item Geef ook een statisch model voor de spaarpotinhoud na $i$ weken.
\eopp

\bopp {We beschouwen de rij 0,9; 0,99; 0,999; ....}
\item Stel $a_1 = 0,9$. Vul in: $a_i = 0,9 + ... a_{i-1}.$
\item Vul in $1 - a_i = (...)^i.$ Geef hieruit het functievoorschrift voor
$a_i$.
\item Wat is het statische en wat is het dynamische model?
\eopp
\edk

\bdk {Discrete en continue modellen}
\bopp {Uit een fonteintje stroomt 1 liter water per minuut. Doordat de afvoer
verstopt is vormt zich een cirkelvormige plas van 1cm hoogte. De beginstraal van
de plas is de diameter van het fonteintje: 10 cm. \opm {Plaatje boven aanzicht en
zijaanzicht}} 
\item Druk de straal na een minuut $r_1$ uit in de beginstraal $r_0$.
\item Druk de straal na $i$ minuten $r_i$ uit in die van de minuut daarvoor,
$r_{i-1}$.
\item Doe hetzelfde, maar nu voor een tijdsinterval $\Delta t$.
\item Laat zien, dat geldt: $\frac {r_i - r_{i-1}}{\Delta t} = \frac
1{\pi (r_i + r_{i-1})}$
\item Druk $\ddt r$ uit in $r$.
\eopp
\bkv
Wanneer een dynamisch model bestaat uit een betrekking tussen opeenvolgende
duidelijk onderscheidbare toestanden spreekt men van een {\em discreet} model.
In een discreet model verandert de beschreven grootheid sprongsgewijs.

\noindent Wanneer een dynamisch model een uitdrukking geeft voor de afgeleide(n)
van een grootheid spreekt men van  een continu dynamisch model. Deze uitdrukking
heet {\em differentiaalvergelijking}. In een continu dynamisch model verandert
de grootheid continu.

\bvb
\tr Een kapitaal op een bankrekening staat uit tegen 4\% rente per jaar. 
Ieder
jaar wordt die rente bijgeschreven. Het kapitaal verandert dus sprongsgewijs.
Het verband tussen opeenvolgende toestanden wordt gegeven door:
$$ K_{n+1} = 1.04 K_n$$
Dit is een discreet model.

\tr Een fles melk die uit de koelkast gehaald begint  op te
warmen en wel langzamer, naarmate het temperatuursverschil tussen fles en
omgeving kleiner is. Dit wordt beschreven door het volgende dynamische model
voor de flestemperatuur $T$ en een omgevingstemperatuur van 19\deg C:
$$ \ddt T = r (19 - T) $$
Hierin is r een constante die samenhangt met de warmtegeleidingseigenschappen
van de fles en de warmetecapaciteit van de melk. Dit is een continu model.
\evb
\ekv

\bopp {In een cilindervormige beker {\em (zie plaatje)}
wordt een vloeistof
geschonken met een snelheid van 1 liter per minuut.}
\item Geef een discreet dynamisch model voor de vloeistofhoogte in de beker in
iedere seconde.
\item Geef een discreet dynamisch model voor de vloeistofhoogte in de beker voor
tijdsintervallen $\Delta t$.
\item Geef een continu dynamisch model voor de vloeistofhoogte.
\eopp

\bopp {In een kegelvormige vaas (zie plaatje) wordt 
vloeistof gegoten met een snelheid 
van 1 liter per minuut.}
\item Geef een discreet dynamisch model voor de vloeistofhoogte in de vaas in
iedere seconde.
\item Geef een discreet dynamisch model voor de vloeistofhoogte in de vaas voor
tijdsintervallen $\Delta t$.
\item Geef een continu dynamisch model voor de vloeistofhoogte.
\eopp

\bopp {Een piano heet {\em gelijkzwevend} gestemd, als voor de frequentie $f_i$
van de toon, die wordt voortgebracht door de $i^{\rm e}$ toets geldt: 
$f_{i+1} =r f_i$, met $r$ een vaste factor.}
\item Wat voor soort model is dit?
\item Er geldt: $f_{i+12} = 2 f_i$. Bepaal $r$.
\eopp

\bopp {Voor de groei van een organisme geldt voor het aantal individuen $N$:
$\ddt N = 0.01 N (1000 - N)$.}
\item Wat voor soort model is dit?
\item Geef aan voor welke waarden van $N$ het aantal individuen stijgt,
respectievelijk daalt. 
\item Voor welke waarde(n) van $N$ blijft het aantal individuen constant?
\eopp
\edk
\eke
\bke {Opstellen van een model}
\bdk {Evenredigheid}
\bopp {Een kegel heeft een grondvlak met oppervlakte van 75 cm$^2$.}
\item De hoogte is 10 cm. Bereken de inhoud.
\item Een andere kegel heeft hetzelfde grondvlak, maar is 3 maal zo hoog. Hoe
groot is de inhoud?
\item Van een kegel is de inhoud 490 cm$^3$. Een andere kegel heeft hetzelfde
grondvlak, maar is 7 maal zo klein. Hoe groot is de inhoud?
\eopp

\bkv
Het quoti"ent van twee grootheden $A$ en $B$ wordt ook wel de {\em verhouding} 
tussen $A$ en $B$ genoemd.
Is de verhouding tussen $A$ en $B$ {\em constant} 
$$\frac AB = c,\ {\rm dus\ } A = cB,$$
dan heten $A$ en $B$ {\em evenredig}. De constante $c$ heet {\em
evenredigheidsconstante}.

\bvb
\tr De omtrek $O$ van een cirkel is evenredig met de straal $r$: $O=cr$. De
evenredigheidsconstante $c=2\pi$.
\tr De op een voorwerp uitgeoefende kracht is evenredig met de versnelling van
dat voorwerp: $F = ma$. (Tweede wet van Newton)
\tr De inhoud van een bol $I$ is evenredig met de derde macht van de straal $r$:
$I = cr^3$. De evenredigheidsconstante is $c=\frac43\pi.$
\evb
\ekv

\bop
\item De oppervlakte van een driehoek $O$ met basis lengte $b$ is evenredig met
de hoogte $h$. Bereken de evenredigheidsconstante en geef een formule voor $O$.
\item Geef in een zin waarin het woord "`evenredig"' voorkomt het verband tussen
de oppervlakte van een cirkel en de straal. Wat is de evenredigheidsconstante?
\item De straal $r$ van een bol is evenredig met de derdemachtswortel uit de
inhoud. Bereken de evenredigheidsconstante.
\eop

\bop 
\item Twee exponenti"ele groeiprocessen $N_1$ en $N_2$ hebben dezelfde 
groeifactor $g$. Laat zien dat $N_1$ en $N_2$ evenredig met elkaar zijn.
\item $N_1 (0) = 6$ en $N_2(0) = 12$. Wat is de evenredigheidsconstante?
\eop

\bopp {Een  populatie bacteri"en heeft grootte $N$. $\ln N$ is evenredig met de
tijd $t$.}
\item Laat zien, dat $N$ exponentieel groeit.
\item Bereken de groeifactoren voor $c=1$ en $c = \ln 2.$
\eopp
 
\bop 
\item Van de de grootheden $N$ en $t$ zijn de natuurlijke logaritmen evenredig.
De evenredigheidsconstante $c=0,5$.
Laat zien dat $N=\sqrt t$.
\item Druk $N$ uit in $t$ als de evenredigheidsconstante 2 is.
\eop
\edk
\bdk {Het opstellen van een differentiaalvergelijking.}

\bopp {{\em plaatje van cirkelringen} We bekijken de oppervlakte van een cirkel
op een wel heel speciale manier, namelijk als dynamisch systeem. We hebben de
cirkel onderverdeeld in ringen ter breedte $\Delta r$.
\setcounter {cirkel} {\value {opgave}}} 
\item Laat zien, dat de oppervlakte tussen twee opeenvolgende ringen $r_i$ en
$r_{i+1}$ gelijk is aan de omtrek van de gestippelde cirkel maal de breedte
$\Delta r$.
\item Beschouw de oppervlakte $O$ als functie van de straal $r$. Noem $O(r_i) =
O_i$. Laat zien, dat $O_{i+1} = O_i + \pi \Delta r (r_i + r_{i+1})$.
\item Formuleer dit als een uitdrukking voor het differentiequoti"ent.
\item Geef een uitdrukking voor $\ddr O$.
\eopp 

\bkv
Een differentiaalvergelijking beschrijft de continue verandering van iets. Vaak
is het handig om die verandering eerst te beschrijven voor een klein interval.
Dit geeft een discreet dynamisch model. Laat dan de stap willekeurig klein 
worden. Dit geeft het continue model. 

\bvb
Geef een differentiaalvergelijking voor de oppervlakte $O$ van een vierkant als
de lengte $x$ van de zijde verandert.
{\em Plaatje van vierkant met extra strip. De hoekjes zwart maken}
\tr Teken een vierkant met zijde $x$. 
\tr Teken een extra strip met breedte $\Delta x$.   
\tr De oppervlakte van deze strip (zie plaatje) is 
$\Delta O = 4x \Delta x + 4{\Delta x}^2$.
\tr Deel links en rechts door $Delta x$: $$\frac {\Delta O}{\Delta x} = 4x +
\Delta x$$
\tr Laat $\Delta x$ naar 0 gaan: $$\ddx O = 4x$$
\evb
\ekv

\bopt {Geef een differentiaalvergelijking voor de verandering in oppervlakte van
een gelijkzijdige driehoek als de lengte van de zijde $x$ verandert.
 Plaatje van driehoek met zwarte paralellogrammetjes in de hoekpunten.}
\eopt

\bopt  {Geef een differentiaalvergelijking voor de verandering in de oppervlakte
$O$ van een kubus als de lengte van de zijde $x$ verandert.}
\eopt

\bop 
\item Geef een differentiaalvergelijking voor de verandering in de {\em inhoud}
$I$ van een kubus als de lengte $x$ van de ribbe verandert
\item Laat zien, dat $\ddx I = O$.
\eop

\bopp {Van een rechthoek is de lange zijde tweemaal zo breed als de korte.}
\item Geef een differentiaalvergelijking voor de oppervlakte $O$ van de rechthoek
als de lengte van de korte zijde $x$ verandert en de verhouding tussen de zijden
gelijk blijft.
\item $S$ is de omtrek van de rechthoek. Laat zien, dat $\ddx O = S$.
\eopp   
\edk
\eke 

\bke {Continue dynamische groeimodellen}
\bdk {Een andere kijk op groei} 
\bopp {bacteri"en op een petrischaaltje, plaatje.

We bekijken de groei van een bacterie kolonie als dynamisch model}
\item Door {\em celdeling} vermeerdert de kolonie zich. Leg uit, dat deze
vermeerdering over een zeker tijdverloop evenredig zal zijn met het aantal 
aanwezige individuen.
\item Een eenvoudig discreet model voor de toename van  het aantal individuen
$\Delta N$ over een periode $\Delta t$ ziet er (dus) uit als $$\Delta N
= .... \Delta t.$$
\item Wat is het continue dynamische model?
\eopp
\bkv
Een eenvoudig continu dynamisch model voor de groei van een populatie wordt
gegeven door $$ \ddt N = c N$$ waarin $c$ een evenredigheidsconstante is.
\ekv

\bop 
\item Van een Indianenstam in Midden Amerika sterft jaarlijks 2,5\%. Per jaar
krijgt 4\% van de vrouwen een kind. Formuleer een discreet dynamisch model van
het aantal individuen in deze stam.
\item Neemt het aantal individuen in de stam toe of af?
\item Voor welke waarden van $c$ neemt de populatie toe in het continue
groeimodel? Voor welke waarden van $c$ neemt de populatie af?
\eop

\bopp {Radioactief verval is een proces, waarbij atomen in instabiele toestand 
straling uitzenden en overgaan in een ander, stabiel, atoom. Zo kan het
instabiele $C^{14}$ overgaan in $?$ onder uitzending van $\alpha$-straling.}
\item Het aantal atomen dat straling uitzendt in een tijdsinterval $\Delta t$
is evenredig met het totaal aantal aanwezige atomen. Leg uit, waarom de
evenredigheidsconstante $c$ tussen 0 en 1 ligt.
\item Door het uitzenden van straling neemt het totaal aantal instabiele atomen
af. Geef een discreet dynamisch model voor de verandering $\Delta N$ per tijds
eenheid $\Delta t$.
\item Geef ook een continu dynamisch model. Wat is het teken van de optredende
evenredigheidsconstante?
\eopp     

\bopp {De vertraging van een parachutist. Plaatje parachute.}
\item De op een parachutist werkende vertragingskracht $F_v$ is evenredig met 
diens valsnelheid $v$ met constante $r$. Geef een formule voor $F_v$. Waar zou
$r$ van afhangen, denk je? 
\item De versnelling van de zwaartekracht terplaatse is 10 m/sec$^2$. 
Geef een uitdrukking voor de totale kracht die op de parachutist werkzaam
is in termen van diens massa $m$, $r$ en $v$. 
\item Laat met behulp van Newton's tweede wet $F = m a$ zien, dat geldt
$$\ddt v = 10 - \frac rm v$$
\item Na verloop van tijd is de valsnelheid van de parachutist constant. Wat is
die constante snelheid (uitgedrukt in $m$ en $r$)?
\eopp


\bopp  {Warmte stroomt van plaatsen van hoge temperatuur naar 
plaatsen van lage temperatuur. \setcounter{fles}{\value{opgave}}} 
\item In de keuken is het 19\deg C. Een fles melk wordt uit de koelkast
gehaald en heeft op dat moment een temperatuur $T$. De {\em warmtestroom} $q$
van omgeving naar fles is evenredig met het temperatuursverschil tussen omgeving
en fles. Geef een formule voor de warmtestroom. (Let op het teken!)
\item  De verandering in temperatuur van de fles per tijdseenheid is evenredig 
met de
warmtestroom $q$. Druk $\ddt T$ uit in $q$.
\item Geef een dynamisch model voor de temperatuur, waarin $\ddt T$, $T$, de
omgevingstemperatuur en \'e\'en evenredigheidsconstante voorkomen.
\item Leg aan de hand van dit model uit, dat de temperatuur in de fles blijft
stijgen zolang deze lager is dan de omgevingstemperatuur.
\eopp 
\edk
\bdk {Logistische groei}
\bopp {{\em Plaatje vijver helemaal vol met lelies.} 
Hiernaast staat de grafiek van de groeicurve van een leliepopulatie.}
\item Voor welk tijdsinterval is er sprake van exponenti"ele groei?  
\item Wat is de grenswaarde van de populatie?
\item Geef een aantal factoren aan die de grenswaarde van de leliepopulatie
kunnen bepalen.
\eopp
\bkv
Ongeremde groei komt in de praktijk (bijna) niet voor.  Een beter met de
praktijk overeenkomend model is {\em logistische} groei. Deze kenmerkt zich
door een exponenti"ele fase en een "`geremde"' fase. De resulterende kromme,
wordt ook wel logistische kromme of S-kromme genoemd. Bovenstaande grafiek vormt
hiervan een statisch model.

In logistisch groei treed altijd een grenswaarde $N_\infty$ op,
waarboven geen
groei meer plaatsvindt.
\ekv
\bop
\item {Tabel van logistische groei gegeven}
Laat zien dat de groeifactor de eerste ... uur ongeveer constant is
\item Wat is de grenswaarde $N_\infty$?
\item Bekijk $N_\infty - N$. Laat zien, dat de groeifactor van $N_\infty - N$ 
vanaf ... uur ongeveer constant is.
\eop

\bopp {Een dynamisch model voor logistische groei. Een geleerde onderzoeker in
opleiding wil een dynamisch model opstellen voor logistische groei. Hij denkt 
daarbij aan iets van de vorm als $F=ma$, $E=mc^2$ of $V=IR$. Deze zijn echter
allemaal al bedacht en bovendien niet erg dynamisch (of wel soms?, nou dan). Dus
hij denkt aan iets als $$\ddt N = f(N).$$}
\item Leg uit waarom $f(0) = 0$. Voor welke $N$ geldt nog meer $f(N) = 0$?
\item Voor $t$ in de buurt van 0 geldt bij benadering $f(N)$ = $aN$. Waarom?
\item Hij probeert $f(N) = N (1-\frac N{1000})$. Wat is $N_\infty$ in dit geval?
\eopp

\bopp {Laat $f(N) = 0,002 N (1-\frac N{1000})$. \opm {Die 0,002 moet misschien wat anders
zijn}}
\item Bereken met de GR de eerste 50 stappen van het discrete dynamische model
$$N_{k+1} = N_{k} + f_(N_k), \quad N_0=20.$$
\item Zet de punten uit in een grafiek. 
\item Laat aan de groeifactoren voor k=1..5 en k=45..50 zien, dat de curve
logistisch is.
\eopp

\bopp {Gegeven is $f(N) = N (1 - \frac N {5000})$}
\item Bepaal $N_\infty$.
\item Voor $t=0$ is $N(0)=20$. Laat zien, dat voor kleine $t$ $$\ddt N
\approx 0,996
N$$ in het logistische model.
\item Voor $N$ in de buurt van $N_\infty$ geldt ten naaste bij $$\ddt N =
(5000-N).$$ Verifieer dit aan de hand van nevenstaande grafiek.
\eopp
\edk
\eke
\bke {Numerieke Oplosmethoden}

\bdk {De methode van Euler}
\bopp{Van een groeiproces $N(t)$ is het volgende dynamische model 
gegeven: $N' = -0,1 N + \cos t$ en $N(0) =
20$. We maken een tabel van $N$ voor oplopende waarden van $t$:
\begin {center}
\begin {tabular} {||c|r|r|r|r|r|r|r|r||}
\hline
$t$&0&0,1&0,2& 0,3&0,4&0,5&0,6& 0,7\\\hline
$N$&20&19,7&&&&&&\\\hline
$\Delta N$&-0,3&&&&&&&\\\hline
\end {tabular}
\end {center}
}
\item Bereken $N(0,1)$ met behulp van linearisering in $t=0$, dat wil zeggen
$$\Delta N = N(0,1) - N(0) \approx \Delta t \cdot N'(0) = 
0,1\cdot (-0,1\cdot20 + 1) = -0,3 $$
\item Bereken op dezelfde wijze $N(0,2)$ uit de linearisering in $t=0,1$.
\item Bereken eveneens op deze manier $N(0,3)\dots N(0,7).$
\eopp
\bkv
Een functie $N (t)$ die aan een differentiaalvergelijking voldoet heet een {\em
oplossing} van die differentiaalvergelijking. Zo'n oplossing is in het algemeen
niet te schrijven in de vorm van een eenvoudige formule.

\noindent
E\'en  manier om toch een indruk te krijgen van zo'n oplossing is met 
een {\em numerieke} benadering.
Zo'n benadering construeert een {\em tabel} van benaderde functiewaarden van de
oplossing.

Een eenvoudige methode om zo'n tabel te construeren werd bedacht door de
befaamde Zwiterse wiskundige Leonhard Euler (1707-1783). Zijn methode berekent 
de
volgende waarde in de tabel met de linearisering van de huidige waarde. Als je
een beginpunt hebt, kun je op die manier een tabel construeren, die zo ver
doorloopt als je wilt.
\bap
{Gegeven is de differentiaalvergelijking  $y'=-y^2$. Maak een tabel van de 
numerieke oplossing voor $x=0; 0,1; 0,2
\dots; 0.9; 1,0.$}
\item $\Delta x = 0,1$ 
\item Bereken $y'(0)$ uit de differentiaalvergelijking. $y'(0) = -(1)^2 = -1.$
\item $\Delta y \approx y'(0) \cdot \Delta x = -0,1.$
\item $y(0,1) = y(0) + \Delta y = 0,9$
\item Herhaal de voorgaande drie stappen voor de nieuwe waarden van $x$ en $y$
\eap
\ekv
\bopt {Schrijf de boven beschreven numerieke procedure als {\em discreet}
dynamisch model, d.w.z. $y_{i+1} = y_{i} + ....$.}
\eopt

\bopp  {\setcounter{Euler}{\value{opgave}} Pak je TR-83. Heb je geen TI-83? {\em Pik} een TI-83.\\
Toets in: 1 \btn{enter}\\
Toets in: \btn{2nd} \btn{ans} $- .1$  \btn{2nd} \btn{ans} \framebox{$x^2$} \btn{enter}\\
Druk nu enige malen op \btn{enter}. Dit geeft de gevraagde tabel voor de DV in
het kleurvlak.}
\item Leg dit uit.
\item Wat verandert er in bovenstaande formule, als je de tabel wilt hebben voor
$x=0,05; 0,1; 0,15 \dots$?
\eopp

\bop 
\item Bereken met de methode als beschreven in vraagstuk~\arabic{Euler}\ een
numerieke oplossing van het exponenti"ele groeimodel $$\ddt N = 0,1 N, \quad
N(0) = 1,$$ voor $t$ = 0; 0,1; ...;0,9; 1.
\item Wat is de groeifactor? Laat dat zowel uit je tabel als uit de formule
zien.
\eop

\bop
\item Bereken met de methode van Euler een numerieke oplossing voor het 
logistische groeimodel 
$$\ddt N = N (1-\frac N {50}).$$
\item Neem tijdstappen van 0,1. Hoe lang duurt het voordat $N>0,9 N_\infty?$
\item Wat is de groeifactor voor kleine $t$? Klopt dat met de
differentiaalvergelijking?
\eop
\edk
\bdk {Van discreet naar continu}

\bopp {Een fles melk uit de koelkast heeft een temperatuur van 6\deg C. De
keuken heeft een temperatuur van 19\deg C. De fles wordt in de keuken gezet en
begint op te warmen volgens de differentiaalvergelijking (zie
opgave~\arabic{fles}) $$ \ddt T = 0,1 (19 - T).$$ We bekijken de numerieke
oplossing op $0\leq t \leq 2$.}
\item Bereken de numerieke oplossing met tijdstappen $\Delta t = 0,2$. Wat is de
groeifactor?
\item Bereken de numerieke oplossing met tijdstappen van $\Delta t = 0,1$. Wat
is nu de groeifactor?
\item Zelfde vraag voor $\Delta t = 0,05$.
\item Voor $T=2$ heb je drie verschillende antwoorden gekregen. Welk antwoord is
het beste?
\eopp

\bkv
Door de methode van Euler uit te voeren voor steeds kleinere tijdstappen wordt
de oplossing niet alleen voor meer punten gevonden, maar deze oplossing wordt 
ook steeds {\em nauwkeuriger}, dat wil zeggen wijkt steeds minder af van de
"`echte"' of exacte oplossing.
\nal Een vuistregel voor de methode van Euler zegt: {\em Halveer je de
stapgrootte, dan halveer je ook de fout in de numerieke oplossing.}
\ekv

\bopp {Van het dynamisch model $$\ddt N = 0,1 N; \quad N(0) = 1$$ wordt 
de exacte oplossing gegeven door $N(t) = e^{0,1 t}$}
\item Verifieer dit.
\item Bereken de numerieke oplossing op het interval (0,1) met stappen van 0,1
resp 0,05.
\item Vergelijk de numerieke oplossingen bij $t=2$ en verifieer, dat de
vuistregel geldt.
\eopp

\bopp {Van het dynamisch model $$\ddr O = 2 \pi r, \quad O(0) = 0,$$ (zie
opgave~\arabic{cirkel}) wordt de "`echte"' oplossing gegeven door ...}
\item Nou?
\item Bereken de numerieke oplossing voor 0<r<2 met stappen van $0,1$ resp
$0,05$.
\item Bereken het verschil van de numerieke oplossing en de exacte oplossing.
Verifieer de vuistregel in alle punten waar twee numerieke oplossingen
voorhanden zijn.
\item Noem de exacte oplossing E(x), de nauwkeurigste numerieke oplossing N (x),
de minder keurige oplossing O(x). Ga na, dat in alle punten waar O en N
beide bekend zijn geldt:
$$ E - N \approx N - O.$$
\item Leg uit hoe je dat zou kunnen gebruiken wanneer de exacte oplossing {\em
niet} bekend is.
\eopp

\bopp {De logistische vergelijking $$\ddt N = 0,1 N (1 - \frac N {100}), \quad
N(0) = 20,$$ wordt
op het interval 0<t<4 benaderd met de methode van Euler}
\item Neem eerst tijdstappen van 0,8, dan tijdstappen van 0,4. 
\item Halveer de tijdstap nogmaals, als de fout ergens groter is dan 0,1.
\item Hoe groot schat je dat de tijdstap moet zijn om de fout overal kleiner te
krijgen dan 0,1?
\eopp 
\edk
\eke
\end {document}


