\documentclass [a4paper] {book}
\usepackage [dutch] {babel}
%\usepackage [T1] {fontenc}
%\usepackage {palatino}
\setcounter {chapter}{4}
\include {netwtmpl}
\newcommand \e {{\textstyle e}}
\newcommand \ddt [1] {\frac {d #1}{dt}}
\newcommand \ddx [1] {\frac {d #1}{dx}}
\newcommand \ddtau [1] {\frac {d #1}{d\tau}}
\newcommand \al {\alpha}
\renewcommand \max {{\makebox{\scriptsize max}}}
\markboth {\sl \hfill Hoofdstuk 5. Grafische en Numerieke Oplosmethoden} 
{\sl Jos van Kan, B1.5, versie A4}
\pagestyle {myheadings}
\begin {document}
\chapter {Grafische en Numerieke Oplosmethoden}
\bke {Grafische methoden}
\bdk {Het richtingsveld}
{\em Plaatje ?}
\bopp {Gegeven is de differentiaalvergelijking $$\ddx y = -\frac xy$$}
\item Als er een oplossing door $P(1,2)$ gaat, wat is dan de helling van de
grafiek in dat punt? Teken een klein stukje van de raaklijn
aan de grafiek in
dat punt.
\item Doe hetzelfde voor alle punten met gehele co\"ordinaten in het vierkant
met hoekpunten (-3, -3) en (3, 3) en zijden evenwijdig aan de co\"ordinaatassen.
(Misschien hier al Winplot of zo inschakelen)
\eopp
\bkv
Een differentiaalvergelijking van de algemene vorm $$\ddx y = f (x, y)$$ heeft
vaak geen oplossing in de vorm van een eenvoudige formule. Maar voor elk
punt in het $x-y$ vlak geeft hij de {\em helling} van de grafiek van de 
oplossing die door
dat punt gaat. Een klein stukje raaklijn in zo'n punt heet {\em lijnelement}.
Om een indruk te krijgen van de mogelijke oplossingen teken je alle 
lijnelementen op een regelmatig rooster. Dit heet een {\em
lijnelementen--} of {\em richtingsveld}.
Is de afgeleide in zo'n punt $\infty$ of $-\infty$ dan loopt het lijnelement
vertikaal.
\bvb
{\em + Plaatje sigma VI blz 100}
Teken het richtingsveld van de differentiaalvergelijking 
$$ \ddx y = - \frac {4x}{9y} $$
\evb
\ekv
\bopp {Sigma VI, blz 6 som 2}
\item Gegeven zijn drie richtingsvelden
{\em Plaatje 1, plaatje 2, plaatje 3}
\item Elk van deze richtingsvelden corresponeren met \'e\'en van de volgende
drie differentiaalvergelijkingen:  
\begin {enumerate}
\item $y'=\frac{x^2-4}y$
\item $y'=\frac{4-x^2}{y^2}$
\item $y'=\frac{4-x^2}{xy}$
\end {enumerate}
Zoek de juiste differentiaalvergelijking bij elk veld.
\eopp
\edk
\bdk {Schetsen van een oplossing in het richtingsveld}
\bop \item
\opm{Hier moet ik nog een even goed over nadenken. Misschien moet je toch eerst Euler
doen. En in ieder geval moet je ICT hulpmiddelen gebruiken. De TI-83 ?}
\eop
\bkv
Gegeven is de differentiaalvergelijking $y' = f(x, y)$. Als een beginwaarde
gegeven is, kun je in het richtingsveld de oplossingskromme schetsen, door in
het beginpunt een stukje langs het lijnelement te lopen en er daarna steeds voor
te zorgen, dat de kromme de gemiddelde richting heeft van de lijnelementen
waar hij tussendoor loopt.
\bvb
\opm{ nou maar weer eens wat anders dan die afgezaagde cirkel.}
Richtings veld van $y'=\frac xy$, we starten in (1,1).
{Plaatje}
\evb
\ekv
\bop
\item Schets het richtingsveld in het $y,t$--vlak van de
differentiaalvergelijking $\ddt y = y (1-y)$ voor een 5x5 rooster op het
vierkant $(0,1)\times(0,1)$
\item Teken in dit richtingsveld de oplossing met beginwaarde $y(0) = 0,5$.
Vergelijk je schets, met de exacte oplossing.
\item Wat valt je op aan dit richingsveld? Verklaar dit uit de
differentiaalvergelijking.
\eop
\edk
\eke
\bke {Van continu naar discreet}
\bdk {De methode van Euler}
\bopp{Van een groeiproces $N(t)$ is gegeven: $N' = -0,1 N + \cos t$ en $N(0) =
20$. We maken een tabel van $N$ voor oplopende waarden van $t$:
\begin {center}
\begin {tabular} {||c|r|r|r|r|r|r|r|r||}
\hline
$t$&0&0,1&0,2& 0,3&0,4&0,5&0,6& 0,7\\\hline
$N$&20&19,7&&&&&&\\\hline
$\Delta N$&-0,3&&&&&&&\\\hline
\end {tabular}
\end {center}
}
\item Bereken $N(0,1)$ met behulp van linearisering in $t=0$, dat wil zeggen
$$\Delta N = N(0,1) - N(0) \approx \Delta t \cdot N (0) = 
0,1\cdot (-0,1\cdot20 + 1) = -0,3 $$
\item Bereken op dezelfde wijze $N(0,2)$ uit de linearisering in $t=0,1$.
\item Bereken eveneens op deze manier $N(0,3)\dots N(0,7).$
\eopp
\bkv
Een andere methode om een indruk te krijgen van de oplossing van een
(ingewikkelde) differentiaalvergelijking is met een {\em numerieke} benadering.
Zo'n benadering construeert een {\em tabel} van benaderde functiewaarden van de
oplossing.

Een eenvoudige methode om zo'n tabel te construeren werd bedacht door de
befaamde Zwiterse wiskundige Leonhard Euler (1707-1783). Zijn methode berekent de
volgende waarde in de tabel met de linearisering van de huidge waarde. Als je
een beginpunt hebt, kun je op die manier een tabel construeren, die zo ver
doorloopt als je wilt.
\bap
{Maak een tabel van de numerieke oplossing van $y'=-y^2$ voor $x=0; 0,1; 0,2
\dots; 0.9; 1,0.$}
\item $\Delta x = 0,1$ 
\item Bereken $y'(0)$ uit de differentiaalvergelijking. $y'(0) = -(1)^2 = -1.$
\item $\Delta y \approx y'(0) \cdot \Delta x = -0,1.$
\item $y(0,1) = y(0) + \Delta y = 0,9$
\item Herhaal de voorgaande drie stappen voor de nieuwe waarden van $x$ en $y$
\eap
\ekv
\bopp {Pak je TR-83. Heb je geen TI-83? {\em Pik} een TI-83.\\
Toets in: 1 \btn{enter}\\
Toets in: \btn{2nd} \btn{ans} $- .1$  \btn{2nd} \btn{ans} \framebox{$x^2$} \btn{enter}\\
Druk nu enige malen op \btn{enter}. Dit geeft de gevraagde tabel voor de DV in
het kleurvlak.}
\item Leg dit uit.
\item Wat verandert er in bovenstaande formule, als je de tabel wilt hebben voor
$x=0,05; 0,1; 0,15 \dots$?
\eopp
\edk
\bdk {Grafisch en numeriek}
\opm {Nog een intro verzinnen. Iets in de geest als: welke recursieve rij hoort
bij de methode van Euler, zodat de vorm $u_n = u_{n-1} + 0,1 * u_{n-1}
(1-u_{n-1})$ in het kleurvlak niet zomaar uit de lucht komt vallen.}
\bkv 
De TI-83 geeft een gemakkelijke methode om tegelijk de tabel {\em en} de grafiek
van een numerieke oplossing uit te rekenen. Daartoe maak je gebruik van {\em
recursieve rijen.} Zo'n recursieve rij is hetzelfde als een discreet dynamisch
systeem: je drukt de waarde van deze stap uit in die van de vorige stap.

\bap
{Bereken de tabel en teken de grafiek van $y' = y (1-y)$, $y(0)=0,1$, met 
tijdstappen van 0,1. Neem 50 stappen.}
\item Pak je TI-83 en zet hem aan.
\item Zet de functie modus op sequentieel. (\btn{ mode}, vierde regel, vierde
kolom)
\item Druk op \btn{Y=} om de functie in te voeren:
$$u(n) = u(n-1) + 0.1u(n-1)(1-u(n-1))$$
Let erop, dat $n$ wordt verkregen door de \framebox{$X,T,\theta,n$}--toets.
\item Voer de beginwaarde in: $u(nMin) = 0,1$
\item Druk op \btn{window}. Zet $NMax=51$, $XMin = 0, XMax=50$
\item Druk op \btn{graph} voor de grafiek, \btn{table} voor de tabel.
\eap
Vergeet niet de functiemodus weer op {\sc Func} te zetten voor gewoon grafisch
werk. 
\ekv

\bop \item
{Geef de grafische en numerieke oplossing van de differentiaalvergelijking 
$$N' = -0,1N + sin 2\pi t.$$ Neem $N(0)=1$ en bereken de oplossing op het
interval $[0,4]$ met stappen van 0,05.}
\eop

\opm{ Misschien is die wat te moeilijk. Daar moeten we eerder mee eindigen
eigenlijk. Kan dit met de Casio ook trouwens?}

\opm{ In de ICT pagina's kun je nog wel wat kwijt over het laten meelopen van 
$t$ of $x$ als tweede variabele en om de stapgrootte in het register $h$ te
zetten.}

\edk
\eke
\bke {Van discreet naar continu}
\bdk {Nauwkeurigheid van de methode van Euler}
\bopp {Bekijk de differentiaalvergelijking: $N' = -0,5 N$ met beginvoorwaarde
$N(0) = 1$.}
\item Maak een tabel voor de numerieke oplossing met stappen van 0,1. Noem deze
oplossing $N^{(1)}$
\item Eveneens met stappen van 0,05. Noem deze oplossing $N^{(2)}$
\item Bereken ook de {\em exacte} oplossing in de tabelpunten.
\item Ga na, dat voor {\em alle} tabelpunten waarvoor $N^{(1)}$ bekend is geldt:
$$|N - N^{(2)}| \leq |N^{(2)} - N^{(1)}|$$
\eopp
\bkv
De numerieke oplossing van de methode van Euler is een {\em benadering}. Deze
verschilt van de exacte oplossing. Het verschil tussen de exacte en de
benaderde oplossing heet de {\em fout} in de benadering. 
Het is van groot belang deze fout te schatten. Voor de methode van Euler is dit
vrij eenvoudig. We berekenen de numerieke oplossing tweemaal, de tweede maal
met de halve stapgrootte. Het verschil tussen deze twee oplossingen is een
schatting van de fout. (Mits deze verschillen klein zijn).
\bvb
Bereken de numerieke oplossing van $y'=1/y,\ y(0) = 1$, met stappen van 0,1 en
0,05 voor het interval [0;0,5]. Schat de maximale fout.

We leggen een tabel aan:
\begin {center}
\begin {tabular} {||l|l|l|l||}
\hline
t&$N^{(1)}$&$N^{(2)}$&$\Delta N$\\
\hline
\hline
.05&&.975&\\\hline
.1&.95&.95063&.00063\\\hline
.15&&.92686&\\\hline
.2&.9025&.90369&.00119\\\hline
.25&&.8811&\\\hline
.3&.85738&.85907&.00169\\\hline
.35&&.83759&\\\hline
.4&.81451&.81665&.00214\\\hline
.45&&.79624&\\\hline
.5&.77378&.77633&.00255\\\hline
\end{tabular}
\end {center}

De maximale fout op dit interval is dus zeker kleiner dan 0.003 voor de
oplossing met de kleinste stap.
\evb\ekv
\bop 
\item Bereken de exacte oplossing van $y'=-0,5y$, met $y(0) = 1$.
\item Ga na, dat de fout in $N^{(2)}$ voor alle punten kleiner is dan de
berekende.
\item Bereken ook nog de numerieke oplossing met stap 0,025. In welke punten kun
je nu de fout schatten? Wat is de maximale fout?
\eop
\edk
\bdk {Een andere kijk op $\e^x$}
\bopp
{Bekijk de differentaalvergelijking y'=y, met y(0) = 1}
\item Neem stap $H$ en geef een {\em formule} voor de eerste stap uit de methode
van Euler:
$$u_1 = 1 + ...$$
\item Laat zien dat $u_2 = (1+H)^2$
\item Laat zien dat $u_n = (1+H)^n$
\item Doe hetzelfde voor de numerieke oplossing $v_n$ met stap $h=\frac H2$.
\item Welke $u$'s en $v$'s moet je met elkaar vergelijken?
\eopp
\bkv
Als je $y'=y$, $y(0)=1$ oplost met de methode van Eulen op het interval [0, x]
en je neemt $n$ stappen, dan is je stapgrootte $h = \frac xn$.

Voor de numerieke oplossing in $x$, $u_n$ geldt klaarblijkelijk:
$$
u_n = (1+h)^n
$$

Als $x$ vast is en we laten $h$ klein worden (en dus $n$ toenemen, omdat $nh=x$)
gaat de numerieke oplossing naar de oplossing van de differentiaalvergelijking.
Klaarblijkelijk geldt dus
$$(1+\frac xn)^n \rightarrow \e^x$$
als $n$ zeer groot wordt. 
\ekv

\bop
\item Vul in $$(1+\frac{2x}n)^n \rightarrow ...$$
\item Is de methode van Euler een discreet of een continu dynamisch proces?
\item Laat zien, dat voor $h$ klein genoeg de waarde van de numeriek oplossing
in $\frac x2$ \'o\'ok willekeurig dicht komt te liggen bij de exacte oplossing.
\eop
\edk
\eke


\end {document}



