\documentclass [a4paper] {book}
%\usepackage {strl}
%\include {nehyph2}
\usepackage [dutch] {babel}
\usepackage [T1] {fontenc}
\usepackage {palatino}
\include {netwtmpl}
\setcounter {chapter}{4}
\setcounter {page} {10}
\setcounter {Kern} {3}
\setcounter {opgave} {30}
\newcommand \e {{\rm e}}
\renewcommand \exp [1] {{\e^{#1}}}
\newcommand \ddt [1] {\frac {d #1}{dt}}
\newcommand \ddx [1] {\frac {d #1}{dx}}
\newcommand \ddr [1] {\frac {d #1}{dr}}
\renewcommand \deg {$^\circ$}
\renewcommand \max {{\makebox{\scriptsize max}}}
\markboth {\sl \hfill Hoofdstuk 5. Differentiaalvergelijkingen.} 
{\sl Jos van Kan, B1.5, eerste versie}
\pagestyle {myheadings}
\begin {document}
\opm {In deze kern komen uiteindelijk twee toepassingen. Ik heb er hier vier
bijeengebracht, nog niet helemaal uitgewerkt op somniveau, die ik zal gebruiken
voor deze kern, de ICT pagina's en de doorwerking. De bedoeling is om vast te
stellen of dit bruikbaar materiaal is en of het niveau van de afleidingen een
beetje OK is. De vragen die gesteld zullen worden zijn allemaal van het type
teken het richtingsveld, bereken de numerieke oplossing, geef de algemene
oplossing, asymptoten, evenwicht en zo. Deze toepassingen worden echt zo
gebruikt en zijn in mijn ogen veel aardiger dan de betrekkelijk gekunstelde
toepassingen van het profi-materiaal.}\par\medskip\noindent
\bke {Toepassingen}
\bdk{Ontlading van een condensator over een weerstand.}
Een condensator bevat een electrische lading $Q$. Op tijdstip $t=0$ wordt een
schakelaar gesloten, waardoor de condensator zich zal ontladen. 
\vspace {5cm}
Tekening van circuit\\
\bopp {De spanning over de weerstand $V$is evenredig met de lading die de
condensator bevat.}
\item Druk $V$ uit in $Q$, noem de evenredigheidsfactor $a$. 
\item De {\em capaciteit} $C$ van de condensator is gedefinieerd als $$C = \frac
1a.$$ Druk $Q$ uit in $C$ en $V$.
\item Door het sluiten van het circuit gaat er een stroom $i$ lopen door de
weerstand $R$. Wat is het verband tussen deze stroom en de spanning $V$?
\item Deze stroom $i$ is "bewegende lading". Door deze stroom neemt (dus) 
de lading op de condensator af $$-\ddt Q = i.$$ Met behulp van b) en c) kun je 
nu afleiden:
$$\ddt Q = -b Q.$$ Druk $b$ uit in $R$ en $C$.
\eopp  
\edk
\bdk{De achterwielvergelijking.}
\opm {De achterwielvergelijking is een variant op de baas-hond vergelijking, die
ikzelf niet zo leuk vind. Een echte hond loopt niet achter zijn baas aan, maar
trekt zijn baas voort. O, nou zie ik het je moet er natuurlijk de hond -
baasvergelijking van maken. Maar terzake. De achterwielvergelijking houdt geen
rekening met de dynamica, want alle traagheidskrachten worden verwaarloosd en
aangenomen wordt, dat er geen zijdelingse wrijving optreedt, wat natuurlijk niet
waar is, als je daadwerkelijk op je fiets rijdt. Daarom is de aanname, dat je de
fiets aan de hand meeneemt vrij essentieel.}
\bopp {Iemand loopt met zijn fiets aan de hand met constante snelheid $v=1
m/sec$ lang de lijn $y=0$. Op het moment, dat hij begint te lopen, maakt zijn
fiets een hoek met de $x-as$: het voorwiel bevindt zich op de x-as, maar de
$y$-co"ordinaat van de achteras is 50 cm. De afstand van stuurpen tot achteras
is 1 m. (Zie tekening)
\vspace {5cm}
Bovenaanzicht fiets\\}
\item Als het voorwiel beweegt, beweegt het achterwiel zich langs de
verbindingslijn tussen achteras en balhoofd. Deze lijn maakt een hoek $a$ met de
$x$-as. (Zie tekening) Wat is de baansnelheid van het 
achterwiel? Laat zien, dat voor de snelheid in de $y$-richting van
het achterwiel $v_y$ geldt $$v_y = -\sin a$$ en voor de snelheid in de
$x$-richting $v_x$: $$v_x = ..$$
\item Druk $\sin a$ uit in de $y$-co"ordinaat van het achterwiel $y_a$.
\item Druk $v_y$ uit in $\ddt {y_a}$.
\item Laat zien, dat geldt $$\ddt {y_a} = -y_a.$$
\item Laat zien, dat geldt $$\ddt {x_a} = x_v - x_a.$$ Hierin zijn $x_v$ en $x_a$
de co"ordinaten van het voorwiel resp het achterwiel.
\eopp  
\edk
\bdk{De rioolpijpvergelijking}
Een reservoir loopt leeg via een pijp. (Zie tekening.) Op $t=0$ wordt de pijp
geopend en we zijn ge"interesseerd in het {\em debiet} $Q$. Dat is het aantal
kubieke meters water, dat per tijdseenheid de pijp instroomt. Het debiet 
heeft de dimensie van een snelheid $\times$ oppervlakte.
\vspace {5cm}
\bop 
\item Volgens Newtons tweede wet zijn
de op het water werkende krachten evenredig met de verandering van het debiet
per tijdseenheid. Wat is de dimensie van de evenredigheidsfactor? Deze wordt in
het vervolg gemakshalve 1 gesteld. (Kan ons het schelen?) 
De op het water werkende krachten bestaan uit  
een constante kracht $f$,
veroorzaakt door de zwaartekracht en een tegenwerkende kracht $k$ veroorzaakt
door inwendige wrijving van de vloeistof en wrijving van vloeistof en pijp.
Laat zien, dat $f$ evenredig is met $\sin a$, met $a$ de hellingshoek van de 
pijp. Waar hangt $f$ nog meer van af? (Antw: doorsnede pijp, versnelling
zwaartekracht $g$ en dichtheid van de vloeistof.) 
\item Volgens een experimenteel model is $k = 0,1 Q^2$. Leid een
\dv\ af voor het debiet $Q$. Neem $f=0,1$. 
\item Van deze \dv\ kennen we de algemene oplossing niet. Substitueer eerst
$Q=P-1$ in de \dv\ en bepaal de algemene oplossing $P$ van de dan resulterende
vergelijking.  Wat is de algemene oplossing voor $Q$?
\item Neem $f=0,4$. Welke substitutie moet je nu toepassen?
\eop
\edk
\bdk{Verspreiding van een epidemie}
Een epidemie verspreidt zich onder een populatie. Deze bestaat uit twee groepen:
{\em besmette} en {\em onbesmette} individuen. We vragen ons af hoe de epidemie
zich verspreidt als functie van de tijd.

\bop
\item Laat $N_b$ het aantal {\em besmette} personen zijn uit de populatie.
Besmetting kan alleen plaats vinden als een besmet persoon een niet besmet
persoon ontmoet. Laat $N$ het totale aantal zijn van de populatie, dan is het
aantal onbesmetten $N_o = N - N_b$. Leg uit, dat de toename in het aantal
besmettingen per tijdseenheid evenredig zal zijn met het aantal ontmoetingen 
$O$ tussen besmetten en
niet besmetten. Druk dit uit in een formule waarin $\ddt {N_b}$ en $O$ voorkomen.
Noem een paar factoren, die van invloed zijn op de evenredigheidsfactor.
\item Als model veronderstellen we, dat het aantal ontmoetingen tussen twee
groeperingen evenredig is  met het product van het aantal individuen in elk van
beide groeperingen. Druk $O$ uit in $N_o$ en $N_b$ in overeenstemming met deze
veronderstelling. Druk $O$ ook uit in $N$ en $N_b$. Denk je dat deze
modelaanname realistisch is? Welke factoren zullen van
invloed zijn op de evenredigheidsfactor?
\item Laat zien, dat het aantal besmetten onder aanname b) 
zich laat beschrijven door de
logistische vergelijking. Geef aan wat $c$ en $M$ is in dit geval. 
\eop
\edk
\eke
\end {document}
