\documentclass [12pt] {article}
\usepackage [dutch] {babel}
\usepackage {strl}
\usepackage {a4}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{palatino}
\title {Antwoorden op vraagstukken bij hoofdstuk 5}
\author {Jos van Kan \thanks {TU Delft, fac Technische Wiskunde en
Informatica}}
\begin {document}
\maketitle

{\bf \large Eerlijk spelen.}

{\em De
weddenschap heet {\em eerlijk} wanneer geldt:
$$
\frac p{1-p} = \frac {I_1}{I_2}
$$

Leg uit, aan de hand van de kansdefinitie van Laplace, waarom zo'n
weddenschap eerlijk is. }

Wanneer wij zo'n weddenschap voor een groot aantal malen $N$ aangaan,
dan zetten we in totaal $N I_1$ in. Daarvoor krijgen wij
terug $M (I_1 + I_2)$ waarbij $M$ het aantal keren is, dat wij
winnen. (Het aantal {\em gunstige} gevallen). Wil dit eerlijk
zijn, dan moeten deze twee bedragen elkaar in evenwicht houden, met
andere woorden
\beas
   N I_1 &=& M (I_1  + I_2)\\
  (N - M) I_1 &=& M I_2\\
  \frac {I_1}{I_2} &=& \frac {M}{N-M} \\
&=& \frac {M/N}{1-M/N} = \frac p{1-p}
\eeas

waarbij de laatste overgang precies wordt verkregen uit de kans
definitie van Laplace. 

\bigskip
{\bf Roulette.}


\ben
\item
{\em Wat is $I_1$ resp $I_2$ in dit geval?} $I_1$ is wat je zelf inzet. Dit
krijg je 36 keer terug als je wint, dus $I_1 + I_2 = 36 I_1$ en $I_2 = 35 I_1$.

{\em Is dit een eerlijke weddenschap?} Nee. $p = \frac 1{37}$ en bij
3700 keer spelen leg je er $100 I_1$ op toe. 

\item 
{\em ..krijg je tweemaal je inzet. Is dit een eerlijke weddenschap?}
Nee. $p = \frac {18} {37} $ en bij 3700 keer spelen leg je er $100 I_1$
op toe.

\item {\em Hoe kun je rijk worden met roulette?} Ah. Goede vraag. Dit is
een subprobleem uit een veel omvattender terrein: Hoe kun je rijk
worden? Het beste antwoord daarop is: door het al te zijn, want geld
trekt geld aan. Maar om terug te keren tot het onderwerp: door een
casino te runnen kun je rijk worden met roulette.

{\em En hoe kun je arm worden met roulette?} Daar hoef je je geen zorgen
over te maken, dat gaat vanzelf.

\een

\bigskip

{\bf Get rich quick schema's.}

{\em Wat mankeert er aan dit schitterende idee?}
Het probleem is dat wanneer een grote serie missers achter elkaar
optreedt de inzet exponentieel stijgt. Bij 10 missers to 1024 maal de
inzet, bij 14 tot ca 16000 maal de begininzet. 

Om twee redenen gaat dat niet goed: het casino heeft een {\em maximum
limiet} waarboven je niet kunt verdubbelen. En anders heb je zelf wel
een {\em maximum kredietlimiet} waarboven je niet kunt inzetten. Het is dus
een vrij zekere manier om jezelf te ru"ineren: je hebt een grote
kans op een kleine winst, maar een kleine kans op een enorm verlies.
Merk op, dat een normaal mens, juist om deze situatie te ontlopen
verzekeringen afsluit...

{\em Maak het voor dit schema nog wat uit of het spel eerlijk is of niet?}
 Alleen voor de tijd, dat het duurt voordat je jezelf geru"ineerd hebt.


\bigskip

{\bf De paarden totalisator}

\ben
\item {\em Veronderstel dat op een paard een uitbetaling van 4/3 wordt
gegeven. Als gegeven is, dat deze uitbetaling eerlijk is, wat is dan de
kans van dit paard om te winnen?} 
$I_1 + I_2 = 4/3 I_1$, dus $I_1 = 3I_2$ en $I_1/I_2 = 3 = p/(1-p)$. Dus
geldt: $ 3 - 3p = p$, ofwel $4p = 3$ en $p=\frac34$. 

\item
Aan een race doen 5 paarden mee:

\medskip
\begin {tabular} {|l|c|c|}
\hline
&Tabel 1&           Tabel 2        \\\hline
Greased Lightning & 5/1 &               6/1\\\hline
Gloriant          & 5/2 &               2/1 \\\hline
Giant             & 7/1 &               8/1\\\hline
Grazer            & 4/1 &               7/1\\\hline
G-Power           & 10/1&               15/1\\\hline
\end {tabular}
\medskip

{\em Welk van de twee tabellen is het meest eerlijk (aangenomen, dat de
kansen van de diverse paarden ongeveer juist geschat zijn?).}

We hebben net gezien, dat voor een eerlijke uitbetaling de kans precies
het omgekeerde is van de uitbetalingsverhouding. Aangezien in ieder
geval \'e\'en van deze knollen moet winnen, moet de som van de kansen
gelijk zijn aan 1. 

Voor de eerste tabel is dit $0.2 + 0.4 + 0.14 + 0.25 + 0.1 = 1.09$. Voor
de tweede tabel $0.17 + 0.5 + 0.13 + 0.14 + 0.06 = 1.00$. De tweede
tabel is het eerlijkst.

Is de andere gunstig of juist ongunstig voor de totalisator? Aangezien
de inzetten in de teller staan en de uitbetalingen in de noemer zijn de
inzetten te groot voor de uitbetalingen. (Of de uitbetalingen te klein
voor de inzetten.) Het precieze verband is nogal ingewikkeld, maar je
kunt op grond hiervan toch wel onmiddellijk concluderen dat de andere
tabel gunstig is voor de totalisator.

\item 
{\em Wat zou een bookmaker liever zien,
denk je, dat je dat op de favoriet (Gloriant) zet of op de outsider
(G-Power)?} Voor een goede bookmaker maakt dat niet uit, omdat hij er
wel voor zorgt, dat zijn totale uitbetalingsschema voordelig voor hem
is. Het belangrijkste is voor hem, dat je hem die 1000 pietermannen
overhandigt. Dan heeft hij die vast. Het deert hem niet zo, dat hij
daarvan weer f 900,= moet weggeven, of dat nou aan jou is of iemand
anders.

\item 
{\em Wat voor soort kans representeert dit?} Dit is de {\em subjectieve
kans} van alle mensen die weddenschappen hebben afgesloten.

\item 
{\em Een bookmaker maakt zijn uitbetalingsschema bekend op het moment, dat je
de weddenschap aangaat. Wat voor soort kans representeert dit
uitbetalingsschema?} Dit is een combinatie van {\em empirische kans}
(een bookmaker heeft vaak verstand van paarden) en de subjectieve kans
van de mensen die de weddenschappen aangaan. De bookmaker past zijn
uitbetalingsschema aan naar de weddenschappen die hij binnenkrijgt,
zodat hij, net als de totalisator, altijd hetzelfde moet uitkeren,
onafhankelijk van de uitslag van de race. Alleen lukt hem dat niet
altijd.
\een
\end {document}
