\documentclass [dutch,12pt] {article}
\usepackage {babel}
\usepackage {strl}
\usepackage {a4}
\selectlanguage {dutch}
\title {Vraagstukken bij Moderne Wiskunde hoofdstuk 6 en Getal en Ruimte 4V2 hoofdstuk 3.}
\author {Jos van Kan \thanks {TU Delft, fac Technische Wiskunde en
Informatica}}
\begin {document}
\maketitle

\begin {enumerate}

\item De vier wieken van een molen zijn over een hoek $\phi$ verdraaid ten
opzichte van het assenkruis. De lengte van elk van de wieken is $L$. Zie
figuur.
\ben
 \item De positie van de top van wiek 1 ten opzichte van de oorsprong
van het assenstelsel, wordt gegeven door:
$$ x_1 = L\cos \phi, \quad y_1 = L \sin \phi
$$

Laat zien, dat

$$ x_2 = -L\sin \phi, \quad y_2 = L \cos \phi
$$

\item Geef zelf uitdrukkingen voor $x_3$, $y_3$, $x_4$ en $y_4$.
\item Wat merk je op in de co"ordinaten van wiek 1 t.o.v. die van wiek
3? 
\item Er geldt: $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$ en een overeenkomstige relatie
tussen elk paar opeenvolgende wieken. Wat is de meetkundige betekenis
van deze relatie?

\item Beredeneer met behulp van het resultaat uit de twee vorige 
onderdelen, dat
\ben
\item $\sin(\phi + \pi) = -\sin (\phi)$
\item $\cos (\phi + \pi) = -\cos (\phi)$
\item $\sin (\phi + \pi/2) = \cos (\phi)$
\item $\cos (\phi + \pi/2) = -sin (\phi)$
\een
Eigenlijk heb je aan de laatste twee genoeg, want de eerste twee volgen
daaruit.

\item
Molen $B$ draait in tegengestelde richting als molen $A$. Beschouw de
co"ordinaten van de (over een hoek $-\phi$) verdraaide wieken van molen
$B$. Leid hieruit af:
\ben
\item $\sin (-\phi) = - \sin (\phi)$
\item $\cos (-\phi) = \cos (\phi)$
\een
\end {enumerate}

\item Deze opgave is bedoeld als een soort steuntje bij de
onderzoekopdracht aan het eind van G\&R hf 3. Ook geschikt voor MW hf 6.

De opgave is behoorlijk lastig, maar zoals altijd, het voornaamste parool is: {\em
niet in paniek raken.}

Bekijk figuur 2. De getekende cirkel heeft straal 1. De hoeken $OFE$,
$ODC$, $DAB$, $CBA$ en $CGA$ zijn recht. 
\begin {enumerate}
\item Van een groot aantal van de in deze figuur optredende  lijnstukken 
is de lengte uit te drukken in
sinussen en cosinussen van de hoeken $a$ en $x$. Een
voorbeeld:
\ben
\item $EF = \sin a$
\item $OD = \cos x$
\een
Druk nu de volgende lijnstukken uit in $\sin a$, $\cos a$, $\sin x$ en
$\cos x$. 
\ben 
\item $CD =$
\item $AD=$
\item $OA=$
\item $AB=$ (Aanwijzing: $\angle ODA= a$, laat nu zien, dat $\angle GCD
= a$)
\item $OB=$
\een
\item Druk $\sin (x+a)$ uit in $\sin x$, $\cos x$, $\sin a$ en $\cos a$.
\item Deze uitdrukking kun je ook anders afleiden (vooral makkelijk als je
hem vergeten bent.) Aannemend, dat 
$$ \sin (x + a) = A \sin x + B \cos x $$

waar in $A$ en $B$ nog te bepalen constanten zijn, kun je door handige
keuzes van $x$ de constanten $A$ en $B$ direct bepalen. Welke keuzes?
\item
Bepaal een overeenkomstige uitdrukking voor $\cos x + a$.
\item
Druk $\sin 2x$ uit in $\sin x$ en $\cos x$.
\een
\end {enumerate}
\end {document}
