\documentclass [dutch,12pt] {article}
\usepackage {babel}
\usepackage {strl}
\usepackage {a4}
\selectlanguage {dutch}
\begin {document}
Opgaven hoofdstuk 3, categorie"en 5-8 door Jos van Kan.

\begin {enumerate}
\item
Gegeven is 
\beas
x + y &=& t\\
x - y &=& 2t
\eeas
Bereken $x'(t)$ en $y'(t)$.

{\em Hier moet een link gelegd worden tussen de stof van hoofdstuk 2 en
hoofdstuk 3. }

\item
Carla Culot heeft een rekenmachine die twee vergelijkingen met twee
onbekenden kan oplossen. Bij een gegeven stelsel van de vorm:
\beas
ax + by&=& c\\
Ax + By&=& C
\eeas
 
moet zij de 6 getallen $a$, $b$, $c$, $A$, $B$ en $C$ in {\em die}
volgorde invoeren. De calculator geeft dan de oplossing. Om som 1 op te
lossen voert ze in: 1, 1, 1, 1, -1 en 2. Kan deze procedure door de
keuring, denk je?

{\em Dit gaat een stapje verder. Niet alleen moet men zich realiseren,
dat dit equivalent is met het links en rechts differenti"eren van de
vergelijkingen, maar ook nog, dat dit dit allemaal kan. Dit is wel in te
zien met het differentie quoti"ent, maar toch een lastige opgave om in
zijn geheel te doorgronden, ook al vanwege het vrij hoge abstractie
niveau.}

\item
Gegeven zijn de punten (1,3) en (2,5).
Door deze twee punten gaat de rechte lijn $y = mx + q$. Bereken $m$ en
$q$. (Aanwijzing: schrijf dit probleem als twee vergelijkingen in de
onbekenden $m$ en $q$.)

{\em Dit is een standaard opgave, maar legt een link met hoofdstuk 1.}

\item
Op een repetitie over hoofdstuk 3 wordt de volgende som gegeven:

Bereken $x$, $y$ en $z$ uit
\beas
3x + 4y + 5z &=&12\\
2y + z &=& 3\\
y + z &=& 2
\eeas

Er breek oproer uit, want 3 vergelijkingen met 3 onbekenden hebben we
niet gehad. (En hoeve we niet te kenne) Terecht?

{\em Dit vereist het inzicht, dat met behulp van de oplossing van de
laatste twee vergelijkingen (die we wel moete kenne), direct de $x$.
kunnen berekenen door substitutie in de eerste vergelijking.}

\item (Pathologisch geval)

Beschouw het volgende stelsel:
\beas
2x + y = 4\\
4x + py = 9
\eeas
Druk $x$ en $y$ uit in $p$. Voor welke $p$ is er een probleem? Teken de twee
lijnen voor deze $p$. Wat is hier voor bijzonders aan de hand?

{\em De moeilijkheid hier is weer het abstractie niveau.}

\item Bekijk probleem 14, blz 84. In de praktijk wordt zo'n weging niet
erg exact uitgevoerd, maar {\em binnen een zekere marge}. 

\ben
\item
Veronderstel dat bij het zakken vullen een fout van maximaal 10\% wordt
gemaakt. Teken in \'e\'en  grafiek de lijnen $x+y = 5500$ en $x+y =
4500$. 

\item
Wat voor effect heeft dit op de vergelijking in 14 b)?

\item
Wij combineren beide onzekerheden in een enkele grafiek. Arceer het
gebied waar de oplossing uiteindelijk in moet liggen. 
\een

{\em Een opstapje naar de volgende paragraaf. Vooral onderdeel b) is
lastig. Het nadenken erover is belangrijker, dan het uiteindelijke
antwoord trouwens.}

De denkvragen in het boek zijn merendeels ingeklede vergelijkingen. De
moeilijkheid daarvan wordt vaak veroorzaakt door het uitkleden, zoals we
wel kunnen illustreren met de volgende 

\item Uitsmijter.

Een schip en een motor zijn samen 56 jaar oud. Het schip is tweemaal zou
oud, als de motor was, toen het schip zo oud was als de motor nu is. Hoe
oud is het schip?
\end {enumerate}
\end {document}
