\documentclass [dutch,12pt] {article}
\usepackage {babel}
\usepackage {strl}
\usepackage {a4}
\title {Opgaven over \S 1.1}
\author {Jos van Kan \thanks {Technische Universiteit Delft, afdeling
TWI, Mekelweg 4, 2628 CD Delft}}
\selectlanguage {dutch}
\begin {document}
\maketitle
\begin {enumerate}

\item Er is een aardige meetkundige interpretatie van het bijzonder
product $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$  Zie fig 1.
\ben
\item Wat is de oppervlakte van het totale vierkant?
\item Wat is de oppervlakte van de vierkantjes met zijde $a$,
respectievelijk $b$?
\item Wat is de oppervlakte van de beide rechthoeken?
\een

\item Teken in figuur 1 de diagonalen in beide rechthoeken, zodat deze
uiteenvallen in vier rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden van
lengte $a$ en $b$ respectievelijk.
\ben
\item Beschouw fig 2. Dit is hetzelfde grote vierkant, maar op een
andere wijze wordt dit nu verdeeld in 4 rechthoekige driehoeken met
rechthoekszijden $a$ en $b$ en een kleiner vierkant met zijde $c$.
\item Wat kun je (dus) zeggen over de oppervlakte van het vierkant met
zijde $c$?
\item Je zou het misschien niet zeggen, maar dit is een van de meest
fameuze resultaten uit de meetkunde. Welk?
\een

\item In figuur 3 staat uitgebeeld de meetkundige interpretatie van
$(a+b)^3$.

\ben
\item Waar zit $a^3$ en $b^3$?
\item Hoeveel blokken tel je met inhoud $a^2b$?
\item Hoeveel met $ab^2$?
\item Het totale aantal blokken in figuur 3 is $8 = 2^3$. Het totale
aantal vierkanten plus rechthoeken in figuur 2 is $4 = 2^2$. Zou dat
toeval zijn?
\een

\item De meetkundige interpretatie van $(a + b)^{100}$ is een beetje
moeilijk weer te geven (anders had ik het gelijk gedaan) want die speelt
zich af in de 100--dimensionale ruimte. (En dat is je lastig
voor te stellen.) Toch kan je er wel iets over zeggen.

Er zijn 100 co"ordinaatrichtingen in de 100--dimensionale ruimte,
en een 100--dimensionale hyperinhoud heeft honderd factoren. Zoals
oppervlakte in 2 dimensies wordt gemeten in $m^2$, inhoud in $m^3$ heeft
de honderd dimensionale hyperinhoud de maat $m^{100}$.

\ben 
\item Een hyperblok in de meetkundige interpretatie van $(a+b)^{100}$
heeft \'of afmeting $a$ \'of afmeting $b$ in een specifieke
co"ordinaatrichting. Wat is de hyperinhoud van het blok dat in alle
co"ordinaatrichtingen afmeting $a$ heeft?
\item Een hyperblok, dat in \'e\'en co"ordinaatrichting afmeting $a$ heeft en
in de andere co"ordinaatrichtingen afmeting $b$ heeft hyperinhoud
$ab^{99}$. Hoeveel van dat soort hyperblokken zijn er?
\item Een blok, dat in 19 co"ordinaatrichtingen afmeting $a$ heeft en in
de resterende co"ordinaatrichtingen afmeting $b$ heeft hyperinhoud
$a^{19}b^{81}$. Hoeveel van dat soort hyperblokken zijn er?
(Aanwijzing: Er zijn 100 co"ordinaatrichtingen, waaruit je er 19 moet
kiezen. Op hoeveel manieren gaat dat? Zie 4V1, Hoofdstuk 5)
\een
\end {enumerate}
\end {document}
