\documentclass [12pt] {article}
\usepackage [dutch] {babel}
\usepackage {strl}
\usepackage {a4}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{palatino}
\title {Vraagstukken bij hoofdstuk 5}
\author {Jos van Kan \thanks {TU Delft, fac Technische Wiskunde en
Informatica}}
\begin {document}
\maketitle

{\em} De grote impuls tot het ontwikkelen van de kansrekening is zonder
enige twijfel het bestaan van gok en dobbelspelletjes. Daar mij het
verwijt is gemaakt, dat mijn projecten te weinig toepassings gericht
waren heb ik gekozen voor een project dat toeslaat, waar het het
meeste pijn doet: in de portemonnee.
\bigskip

{\bf \large Eerlijk spelen.}

\smallskip
Het allereenvoudigste gokspel is de simpele {\em weddenschap}. Twee
spelers $S_1$ en $S_2$ wedden op het al of niet optreden van gebeurtenis $A$. 
De inzet van $S_1$ is $I_1$, de inzet van $S_2$ is $I_2$. Indien $A$
optreedt krijgt $S_1$ de hele pot $I_1 + I_2$ (en {\em wint} dus $I_2$. 
Indien $A$ niet optreedt
krijgt $S_2$ de pot (en wint dus $I_1$). Laat $p$ de kans zijn op het 
optreden van $A$. De
weddenschap heet {\em eerlijk} wanneer geldt:
$$
\frac p{1-p} = \frac {I_1}{I_2}
$$

Leg uit, aan de hand van de kansdefinitie van Laplace, waarom zo'n
weddenschap eerlijk is.

\bigskip
{\bf Roulette.}

Een rouletteschijf bestaat uit 37 vakken, genummerd van 0 tot 36. De
spelers zetten in, de schijf wordt aan het draaien gebracht, een
balletje wordt op de draaiende schijf gegooid en na verloop van tijd
komt de schijf tot stilstand en blijft het balletje op een nummer
liggen. 

\ben
\item Je kunt inzetten op \'e\'en nummer (plein) en als dit uitkomt
krijg je 36 keer je inzet uitbetaald. Als het niet uitkomt ben je je
geld kwijt. In feite is roulette dus een weddenschap met het casino. 
Wat is $I_1$ resp $I_2$ in dit geval? Is dit een eerlijke weddenschap?

\item Je kunt ook op meerdere nummers tegelijk inzetten. Bijvoorbeeld op
de nummers 1 t/m 18 (manque) of 19 t/m 36 (passe). Komt je nummer uit,
krijg je tweemaal je inzet. Is dit een eerlijke weddenschap?

\item Hoe kun je rijk worden met roulette? En hoe kun je arm worden met
roulette?
\een

\bigskip

{\bf Get rich quick schema's.}

Roulette heeft altijd het beest in de mens losgemaakt en grotere geesten
dan u en ik hebben methoden bedacht om slapend rijk te worden. De meeste
daarvan zijn al of niet slimme varianten op het volgende.

Martin van Gaal heeft een idee bedacht om snel rijk te worden. Hij zet 
f~5,= in op manque (de minimum inzet in de Holland Casino's) en als hij
verliest verdubbelt hij zijn inzet. Zodra hij wint begint hij weer met
f~5,=. Dat gaat altijd goed, zegt Martin, kijk maar:

\medskip
\begin {tabular} {||c|c|c|c||}
\hline
uitkomst& totale inzet & opbrengst & winst\\\hline
m&5&10&5\\\hline
pm&10+5& 20 & 5\\\hline
ppm& 20 + 10 + 5& 40 & 5\\\hline
...&...&...& 5\\\hline
\end {tabular}
\medskip

Wat mankeert er aan dit schitterende idee? (Hint: Toen er een keer 12
maal achtereen rood uitkwam in Monte Carlo, konden ze gelijk een hele
hoop spelers uit de fontein vissen.) Maak het voor dit schema nog wat
uit of het spel eerlijk is of niet? 

\bigskip

{\bf De paarden totalisator}

Je kunt erover twisten of het een leuk tijdverdrijf is om een hele
middag naar hollende paarden te kijken, maar in ieder geval vinden een
heleboel mensen het spannender om dit te combineren met het wedden op de
races.

Bij iedere race hoort een wedtabel. Voor elk paard bevat deze een
uitbetaling. Zo betekent 5/1 (spreek uit 5 tegen 1), dat een weddenschap 
op dit paard 5 maal de inzet uitbetaalt. 5/3 betaalt $\frac 53$ ofwel
1.67 maal de inzet.

\ben
\item Veronderstel dat op een paard een uitbetaling van 4/3 wordt
gegeven. Als gegeven is, dat deze uitbetaling eerlijk is, wat is dan de
kans van dit paard om te winnen?

\item
Aan een race doen 5 paarden mee:

\medskip
\begin {tabular} {|l|c|c|}
\hline
&Tabel 1&           Tabel 2        \\\hline
Greased Lightning & 5/1 &               6/1\\\hline
Gloriant          & 5/2 &               2/1 \\\hline
Giant             & 7/1 &               8/1\\\hline
Grazer            & 4/1 &               7/1\\\hline
G-Power           & 10/1&               15/1\\\hline
\end {tabular}
\medskip

Welk van de twee tabellen is het meest eerlijk (aangenomen, dat de
kansen van de diverse paarden ongeveer juist geschat zijn?). 
Is de andere gunstig of juist ongunstig voor de totalisator?

\item Soms wordt (illegaal) door bookmakers weddenschappen afgeloten. 
Je hebt f 1000,= in je zak branden. Wat zou een bookmaker liever zien,
denk je, dat je dat op de favoriet (Gloriant) zet of op de outsider
(G-Power)?

\item De totalisator keert 90\% van de ingezette sommen weer uit en maakt de
het uitbetalingschema pas bekend, nadat alle weddenschappen zijn afgesloten.
Het uitbetalingsschema representeert dan \'o\'ok een soort kans, maar niet
een die overeenkomt met de definitie van Laplace. Wat voor soort kans
representeert dit?

\item Een bookmaker maakt zijn uitbetalingsschema bekend op het moment, dat je
de weddenschap aangaat. Wat voor soort kans representeert dit
uitbetalingsschema?
\een
\end {document}
