\documentclass [dutch,12pt] {article}
\usepackage {babel}
\usepackage {strl}
\usepackage {a4}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{palatino}
\title {Opgaven over logaritmen.}
\author {Jos van Kan \thanks {Technische Universiteit Delft, afdeling
TWI, Mekelweg 4, 2628 CD Delft}}
\selectlanguage {dutch}
\begin {document}
\maketitle
\begin {enumerate}
\item Laat zien, dat voor elke positieve $a$ en $b$:
\ben
\item $^a\log b\ ^b\log a = 1$
\item $^a\log b + ^a\log \frac 1b = 0$
\een

\item Kees had op 1 april 1987 f 2000,= op de spaarbank. De rente
hiervan heeft hij ieder jaar laten bijschrijven en op 1 april 1997 is
zijn kapitaaltje gegroeid tot f 4000,=. "` Mooi,"' zegt vader, "`dat is
10\% rente per jaar."' Gelukkig heeft Kees dit hoofdstuk gehad, zodat hij
zijn vader kan corrigeren. Wat is het werkelijke rente percentage? (Twee
cijfers achter de komma.)

\item Geef een verband tussen het aantal cijfers van een geheel getal en
de logaritme (met grondtal 10) van dat getal. Hoeveel cijfers bevat
$8^{707}$? (Het antwoord: "`Vier"', is wel leuk, maar niet goed.)

\item Binaire zoekmethoden.

Iemand neemt een willekeurig getal tussen 1 en 1024 in gedachten. Je
moet het getal raden door vragen te stellen waarop alleen met ja of nee
geantwoord kan worden. Bepaal een strategie waarbij 10 vragen voldoende
zijn om het getal met zekerheid te bepalen. (Aanwijzing: de eerste vraag
is: "`Is het getal groter dan 512?"')

Hoeveel vragen zijn maximaal nodig als het getal inligt tussen 1 en 1
miljoen?

\een

{\bf Onderzoeksproject:} De logaritmische familie.

\noindent
Eigenlijk lijken alle logaritmische functies op elkaar, welk grondtal ze
ook hebben, want
$$ ^a\log x = C\, ^b\log x$$
waarin de constante $C$ gegeven wordt door $C=\,^a\log b$. Dus afgezien
van een vermenigvuldigingsfactor zijn ze allemaal hetzelfde. We zullen
nu laten zien, dat het karakter van deze familie in feite wordt
bepaald door de volgende fundamentele eigenschap:

\noindent
{\em Als een functie\footnote {Meer correct is {\em continue functie}}
 $f$, gedefinieerd op de positieve getallen de
eigenschap heeft, dat
$$ f (x) + f(y) = f (xy)\quad (1)$$
voor elke positieve $x$ en $y$, dan hoort die functie bij de logaritmische 
familie.}
Met andere woorden, dan is er een grondtal $a$ zodat $f(x) = \,^a \log x$.
We zullen deze stelling niet bewijzen, maar wel laten zien, dat 
{\em alle} eigenschappen van de logaritme rechtstreeks uit eigenschap (1)
volgen.

Laat zien met behulp van eigenschap (1):
\ben
\item $f(1) = 0$
\item $2 f(x) = f(x^2)$
\item $3 f(x) = f(x^3)$
\item $f (1/x) = f (x^{-1}) = - f(x)$
\item $1000 f(x) = f (x^{1000}) $ 
\item $\frac12 f(y) = f (\sqrt y)$ (Aanwijzing: kies in 2) $y = x^2$)
\item $\frac13 f(y) = f (y^{\frac13})$
\item $\frac1{1000} f(y) = f(y^{\frac1{1000}})$
\item $\frac23 f(z) = f (z^{\frac 23})$ (Aanwijzing: kies in 7) iets
handigs voor $y$)
\item $\frac{727}{1000} f(z) = f(z^{\frac{727}{1000}})$
\een
Kortom, voor positieve $x$ en  gehele m,n geldt, dat als
eigenschap 1) geldt, daaruit volgt:
$$ \frac mn f(x) = f (x^ {\frac mn})$$
Veronderstel nu, dat er een positieve $a$ is zodat $f(a) = 1$. Dan geldt
$$ a^{f(x)} = x$$
ofwel $f (x) =\, ^a \log x$. Toon dit aan door de volgende stappen te
verifi"eren:
\ben
\item $a^{f(a)} = a$
\item $a^{f(a^n)} = a^n$
\item $a^{f(a^{\frac mn})} = a^{\frac mn}$
\een
Nemen we even aan (dat is dus geen bewijs), dat 3) geldig is
willekeurige getallen $y$:
$$ a^{f(a^y)} = a^y $$
dan zijn we klaar. Immers, voor elke gegeven $x>0$ kunnen we een $y$
vinden zodat $x=a^y$. (Hoe?)

\noindent
Hiermee hebben we dus laten zien, dat {\em alle} eigenschappen van de
logaritme rechtstreeks volgen uit eigenschap 1.

\end {document}
