\documentclass {article}
\usepackage [dutch] {babel}
\usepackage [T1] {fontenc}
\usepackage {palatino}
\title {Van kijken naar denken.}
\author {Jos van Kan \thanks {TU Delft, faculteit Informatietechnologie
en Systemen.}}
\begin {document}
\maketitle
\section {Inleiding}
Bij deze practische opdracht zullen wij een {\em parameterstudie}
verrichten met behulp van grafische hulpmiddelen. Wij gebruiken daarbij
{\sf WINPLOT}, een grafisch programma, dat gratis op te halen is via Internet.
Het adres is\\
http://www.exeter.edu/\~\ rparris/default.html of\\
ftp://ftp.exeter.edu/pub/peanut\\
Het bestand heet {\sf WINPLOTZ.EXE}.
Dit is een gecomprimeerd bestand, dat zichzelf decomprimeert.

\section {Parameters}
Kijk eens naar het bekende exponenti"ele groeimodel
$$
N(t) = b g^t
$$
waar in $N$ het aantal individuen in een populatie beschrijft. De
beginwaarde $b$ en de groeifactor $g$ zijn {\em parameters} van het
model: voor een bepaald model liggen ze vast, maar een andere waarde
geeft een ander model. Het onderzoek van het gedrag van een model als je
de parameters varieert heet een {\em parameterstudie.}

Zo'n parameter studie bestaat uit meerdere onderdelen:
\begin {enumerate}
\item Verkenning. Zeker als een probleem meerdere parameters bevat, kan het
voor verschillende combinaties zeer uiteenlopend gedrag vertonen. Met
name in deze fase zijn de grafische hulpmiddelen zeer nuttig.
\item Hypothese. Vaak geeft de verkenning aanleiding tot een
veronderstelling hoe het model zich gedraagt onder variatie van \'e\'en
parameter of een bepaalde combinatie van parameterwaarden.
\item Zo'n veronderstelling moet je ook kunnen aantonen uit de formules. 
Dit is 
vaak het lastigste onderdeel, maar juist datgene wat het geheel
tot een {\em wiskundig} onderzoek maakt.
\end {enumerate}

\section {Het model}

Als te onderzoeken model nemen we de formule $y=x^3 + Ax^2 + Bx + C$,
waarin $A$, $B$ en $C$ de parameters zijn. 

We onderzoeken verschillende gevallen.
\begin {enumerate}
\item Neem $A=B=1.$ 
\begin {enumerate}
\item Teken in \'e\'en figuur de grafiek voor $C=-2, -1, 0, 1, 2$.
\item Wat valt op aan de {\em vorm} van de grafieken?
\item Toon dit aan uit de formule.
\end {enumerate}
\item Neem $A=C=1.$
\begin {enumerate}
\item Teken in \'e\'en figuur de grafiek voor $B=-3, -2, -1$
\item Door welk punt gaan alle grafieken?
\item Toon dit aan uit de formule.
\item Schat door voor verscheidene waarden van $B$ de grafiek te
tekenen, voor welke waarde van $B$ de
grafiek aan de $x$--as raakt (1 decimaal).
\end {enumerate}
\item Neem $A=C=-1.$
Beantwoord dezelfde vragen als voor vraagstuk 2. Valt je {\em nog} iets op? Kun je {\em dat}
uit de formule aantonen??
\item Neem $B=1$ en $C=0.$
\begin {enumerate} 
\item Teken in \'e\'en figuur de grafiek voor $A=-2, -1, 0, 1, 2$.
\item Welke symmetrie is er?
\item Toon dit aan uit de formule.
\item Voor welke waarden van $A$ heeft de grafiek 3 snijpunten met de
$x$--as?
\end {enumerate}
\item Neem $C=1$, $A=B$.
\begin {enumerate}
\item Teken de grafiek voor verschillende waarden van $A$ tussen 0 en 5.
\item Door welke twee punten gaan alle grafieken?
\item Toon dit aan uit de formule.
\item Vanaf een zekere waarde van $A$ hebben de grafieken 3 snijpunten
met de $x$--as. (Nulpunten). Welke waarde is dat? 
\item (Bonusvraag) Kun je {\em dat} bewijzen?
\end {enumerate}
\item (Bonusvraag) Iemand wil een parameteronderzoek doen naar de functie 
$$y = Cx^3 + Ax^2 + Ax + C$$ 
Teken niks. Wat kun je hem vertellen?
\end {enumerate}
\end {document}
