\documentclass{article}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[dutch] {babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{palatino,a4}
\newtheorem{definition}{Definitie}[section]
\newtheorem{theorem}[definition]{Stelling}
\newtheorem{corollary}[definition]{Gevolg}
\newtheorem{lemma}[definition]{Lemma}
\newtheorem{conjecture}[definition]{Vermoeden}
\newtheorem{proposition}[definition]{Propositie}
\newtheorem{assumption}[definition]{Veronderstelling}
\newcommand{\tqed}{\hfill \rule{2mm}{2mm}}
\newcommand \fbt[1] {\framebox {\smash[b] {#1 $\blacktriangleright$}}}
\newcommand \fb[1] {\framebox {\smash[b]{#1}}}
\parindent 0pt
\pagestyle {empty}
\begin{document}
{\bf Opdracht 1}\\ Ga na dat de kansverdeling van de som van het
aantal ogen bij een worp met twee driekanten dobbelstenen gegeven
wordt door:$$
\begin{pmatrix}
2&3&4&5&6\\
\frac{1}{9}&\frac{2}{9}&\frac{3}{9}&\frac{2}{9}&\frac{1}{9}
\end{pmatrix}.
$$ Bereken de verwachtingswaarde van de som.

Kies in programma WinStats: \fbt{Window} \fbt{Simulate} \fb{Roll dice}.

\begin{list}{\alph{enumi})}{\usecounter{enumi}}
\item
Simuleer aan de hand van de volgende aanwijzingen duizendmaal de
som van het aantal ogen bij een worp met twee driekanten
dobbelstenen. Schrijf op, v\'o\'or u het experiment uitvoert, welk
getal u als gemiddelde verwacht.

Stel het aantal kanten per dobbelsteen en het aantal dobbelstenen in:\\ 
\fbt{Params} \fb{Faces}. Laat het aantal ogen per worp
optellen (\fbt{Stat} \fb{Sum}) en stel het aantal sumulatieruns in
(\fbt{Do} \fb{Number}).
Voer nu het experiment uit. (\fbt{Do} \fb{Many}  of F12). In de
titelbalk wordt weergegeven wat het gemiddelde is van de duizend
simulaties. Een meer uitvoerige weergave van de simulatie is als volgt te
vinden: \fbt{Do} \fbt{Data} \fb{Inspect}.
\item Wat is de verwachtingswaarde van de som bij een worp met
twee $n$-kanten dobbelstenen?
\item
Simuleer duizendmaal de hoogste waarde van een worp met twee
zeskanten dobbelstenen. Is het resultaat in overeenstemming met
wat u verwacht?
\end{list}

\medskip
{\bf Opdracht 2}\\ We gaan verder met het simuleren van het gooien
met een  dobbelsteen. Beschouw een experiment waarbij $D$-maal
geworpen wordt met een dobbelsteen met $N$ kanten. De stochast $X$
die we bekijken is gedefinieerd als het aantal verschillende
waarden dat bovenkomt bij deze $D$ worpen. Als bijvoorbeeld voor
$D=4$ en $N=6$ het resultaat gegeven wordt door 3,4,3,6, dan is de
waarde van $X$ gelijk aan 3. Bij uitkomst 2,2,2,2 is de waarde van
$X$ gelijk aan 1. We zijn ge"interesseerd in de
verwachtingswaarde van $X$. Omdat deze af zal hangen van de
waarden van $N$ en $D$ gebruiken we de notatie $\mu_{N,D}.$

Onderzoek met behulp van een simulatie hoe bij vaste keuze van $N$
de verwachtingswaarde $\mu_{N,D}$ afhangt van $D$. Verwijder eerst
de resultaten van opdracht 1: \fbt{Do} \fbt{Data} \fb{Reset}. Kies nu een waarde
van $N$ \fbt{Params} \fb{Faces}. De waarde van $D$ kan hiermee ook
ingesteld worden. Stel de goede steekproeffunctie in: \fbt{Stat} \fb{Numdiff}.
Stel nu het aantal simulaties in: \fbt{Do} \fb{Number} (bijvoorbeeld 1000).
Voer nu voor een aantal waarden van $D$ de simulatie uit: \fbt{Do} \fb{Many} 
of F12 en daarna met \fbt{Parms} \fb{Faces} $D$ veranderen. Een overzicht
van alle simulatieresultaten kunnen we bekijken met
\fbt{Do} \fbt{Data} \fb{Inspect}.

We kunnen met behulp van WinStats de resultaten van de simulatie
ook grafisch representeren. Hiertoe slaan we eerst de data op in
een matrix: \fbt{Do} \fbt{Data} \fb{Save as matrix}. Geef het bestand een
naam, bijvoorbeeld sim.fma. We gaan nu naar \fbt{Window} \fb{2-var} en openen
het zojuist opgeslagen bestand sim.fma (\fbt{File} \fb{Open}). Met \fbt{Scatter}
\fb{Plot} kunnen we
een grafiek maken waarbij we langs de horizontale as de waarde van
$D$ zetten en langs de verticale as de gesimuleerde
verwachtingswaarde. Plot nu de theoretische kromme in dezelfde grafiek:
\fbt{Graph} \fb{Other}. (Aanwijzing: Zie de formule aan het eind van
paragraaf 3.)
\end{document}
