\documentclass [12pt] {article}
\usepackage [dutch] {babel}
\usepackage [T1] {fontenc}
\usepackage {palatino}
\newcommand \nal {\par\medskip\noindent}
\begin {document}
\mbox{}\hfill Delft, 29 sep 98\\
Beste Medeauteurs,
\nal
Terwijl ik bezig was aan het maken van mijn A4-en voor de hoofdstukken 4
en 5 kreeg ik steeds meer pijn in mijn buik.

De oorspronkelijk gegeven opzet gaat van abstract naar concreet.
Eerst komen  evenredigheid, 
differentievgl, van discreet naar  
continu, differentiaalvergelijking, zonder dat wij
nog maar verteld hebben wat een dynamisch systeem nu eigenlijk is. Dat
komt pas helemaal in hoofdstuk 5 kern 2, waar andermaal weer gepraat
wordt over exponenti"ele groei, een onderwerp, dat al ad nauseam aan de
orde is geweest.

Ook is er geen plaats ingeruimd voor {\em het afleiden} van
differentiaalvergelijkingen, toch een onderdeel, dat in het
de profi-uitwerking  met name wordt genoemd als zijnde zeer belangrijk, z\'o
belangrijk zelfs, dat zij daarvoor een heel stuk (tweede orde DV) hebben
laten vallen. 

Ik zou het heel anders willen aanpakken: van concreet naar abstract, met 
nadruk op het {\em afleiden}. 

Voorstel:

\begin {itemize}
\item Hoofdstuk 4 Modellen

\begin {description}
\item [Kern 1] Dynamische modellen.
\begin {enumerate}
\item Van gewone taal naar formule taal.

Dit is de eerste aanzet tot het formuleren van modellen uit eerste
beginselen. We bekijken hoe zinnen als `Hoe langer, hoe smaller'
en dergelijke vertaald kunnen worden in formules.
\item Een andere kijk op groei. 

Hierin staat hoe je exponenti"ele
groei kunt beschrijven zoals altijd gedaan is, maar ook door uit te gaan
van eerste principes: de groei is evenredig met de aanwezige populatie of 
anders gezegd: "`hoe groter de populatie, hoe groter de groei"'. Het 
beschrijven van een verschijnsel dmv de veranderingen ervan is wat het
model dynamisch maakt.

\end {enumerate}
\item [Kern 2] Dynamische modellen van exponenti"ele groei
\begin {enumerate}
\item Oplossing van exponentieel groeimodel. 

Verificatie door
substitutie, oplossingsfamilies. Dit komt natuurlijk gedeeltelijk in de
sommen terecht.
\item Geremde groei: $y'=c(k-y)$
\end {enumerate}
\item [Kern 3] Dynamisch model van logistische groei.
\begin {enumerate}
\item Afleiding van het model uit een `talige' context. 

Dus andermaal van gewone taal naar formule taal
\item Oplossing. 

Het controleren van de (een) oplossing door substitutie.
\end {enumerate}
\item [Kern 4] Wat beschrijft een dynamisch model?
\begin {enumerate}
\item Eerste Principes. Parameters.
\item Differentiaal vergelijkingen. 

Oplossingen. 
Differentiaalvergelijkingen met $x$. (Tot nog toe waren onze dynamische modellen
differentiaalvergelijkingen met $t$ en er is best een verhaal te houden,
dat differentiaalvergelijkingen met $x$ {\em helemaal} geen dynamische
modellen zijn. Maar ik dwaal af.)
\end {enumerate}

\end {description}

\item Hoofdstuk 5 Differentiaalvergelijkingen
\begin {description}
\item [Kern 1] Richtingsveld.
\begin {enumerate}  
\item Het tekenen van het richtingsveld. (met richtingen 0, $\infty$ en
zovoorts)
Dat moet natuurlijk voor een niet autonome DV om een beetje aan te slaan.
\item Het schetsen van een oplossing in een richtingsveld. 

(Dat doe ik erbij omdat dat in de eindtermen apart genoemd wordt maar
het is volkomen onzinnig. Immers, in de volgende kern doen we dat pas
echt goed...)
\end {enumerate}
\item [Kern 2] De methode van Euler
\begin {enumerate}
\item De beginwaarde.

Pas hier kunnen we het idee kwijt, dat \'e\'en oplossings kromme hoort 
bij \'e\'en begin waarde.

\item Van continu naar discreet.

Het onderscheid, dat gemaakt wordt tussen continue en discrete
dynamische modellen is volgens mij een hobby van een van de opstellers
van het programma. En de nadruk die gelegd wordt op het feit, dat de
Euler tabel geen (echte) oplossing is is heel gekunsteld. We hebben in
de onderbouw geleerd, dat je een functie kunt geven met een formule, een
grafiek of een tabel. Mag een tabel nou ineens niet meer?
\end {enumerate}
\item [Kern 3] Van discreet naar continu.

Het verplaatsen van dit onderdeel helemaal naar het eind van dit
hoofdstuk is de belangrijkste verandering, maar volgens mij heel
wezenlijk. Het hele idee van continue rentebijschrijving is {\em
gekunsteld} en draagt helemaal {\em niks} bij tot een beter begrip. (Het
is nl een halsbrekende toer om de evenredigheidsfactor te vinden van een
continu proces als je alleen maar het rente percentage weet.) Dus ik
knoop dit vast aan de methode van Euler.
\begin {enumerate}
\item Nauwkeurigheid van de methode van Euler.

Dat wordt in de eindtermen niet genoemd, maar Bert had dat er (terecht)
wel bijstaan. Er wordt alleen iets gemompeld over invloed van de
stapgrootte, maar dat kan je volledig kwantificeren.
\item Een andere kijk op $e^x$.

Iets ouds, maar toch ook iets nieuws, om te laten zien, dat het
resultaat in de vorige deelkern niet helemaal toevallig is.
\end {enumerate}
\item [Kern 4] Toepassingen uit Natuur en Techniek

Hierin zouden wat minder triviale voorbeelden kunnen, die alleen numeriek
kunnen worden opgelost. Bijvoorbeeld:
\begin {enumerate}
\item Groei bij tijdsafhankelijke hulpbronnen. (Bijvoorbeeld
afhankelijkheid van het jaargetijde)
\item De aerostatische drukverdeling. (De DV is hier gemakkelijk, maar
de afleiding is interessant)
\end {enumerate}
Iets anders kan natuurlijk ook.
De baan van het bootje aan het touwtje, de vorm van het
silhouet van een omvallende rij dominostenen, de parachutespringer, de
waterafvoer, U roept maar.
We moeten in ieder geval ervoor zorgen,
dat we in deze twee hoofdstukken, die in mijn ogen tot de interessantste
van het pakket mogen worden gerekend ook echt interessante stof
voorschotelen.
\end {description}
\end {itemize}

Vergeleken met het vorige plan is de kern `differentievergelijking'
vervallen. Om vanuit een differentie vergelijking naar een
differentiaalvergelijking te komen vind ik gekunsteld. Bovendien leidt
deze weg tot grote en mijns inziens volsterkt nodeloze begripsmatige
problemen. We formuleren de modellen direct in termen van groei en
populatie, en stellen vast, dat `discrete' groei (zoals bijvoorbeeld
rente bijschrijving) juist de uitzondering is. Om dat nou te gaan
hanteren als kapstok om de rest aan op te hangen vind ik principieel
onjuist.

De dynamische modellen van groei komen eerst aan bod,
alvorens we het over differentiaalvergelijkingen in het algemeen gaan
hebben. (Dus van concreet naar abstract). Dat geeft ook meer houvast in de
leervlakken (je kunt dan beter teruggrijpen op al behandelde
voorbeelden.) De kern Oplossingen (Hf 4, K4) is in {\em die} vorm vervallen. 
In mijn ogen, moet er in de sommen aandacht worden besteed aan
interpretaties van de oplossings formule in termen van het gegeven
dynamisch model. Het in het trajecten boek genoemde voorbeeld
(horizontale asymptoot) vind ik {\em veel} te mager om daar een complete
kern aan te spenderen. 

Daar is voor in de plaats gekomen Hoofdtuk 5, kern 4, toepassingen uit 
Natuur en
Techniek, omdat je mijns inziens niet vaak genoeg kan zien hoe een DV
wordt afgeleid. (Dat is honderd keer zo belangrijk als de oplossing).
Aan Hoofdstuk 5, kern 3 tweede deelkern hecht ik niet zo erg. Het wordt
in het profi materiaal genoemd en is wel aardig, maar zou ook wel door
iets anders kunnen worden vervangen. Misschien moet je wel een complete 
deelkern
wijden aan parameters. (In mijn ogen veel belangrijker dan het schetsen
van oplossingen in voorgegeven velden, want daar heb je WinPlot (gratis, 
uitstekend), of als het werkelijk moet VU-Grafiek (duur, zeer matig) voor).

Nou dat was het voorlopig. Ik meen met het totaal op zijn kop zetten van
de oorspronkelijke opzet in de beste Boniaanse traditie te hebben
gehandeld.

Groeten, Jos.
\end {document}
