\documentclass [a4paper] {book}
%\usepackage {strl}
%\include {nehyph2}
\usepackage [dutch] {babel}
%\usepackage [T1] {fontenc}
%\usepackage {palatino}
\setcounter {chapter}{4}
\include {netwtmpl}
\newcommand \e {{\rm e}}
\renewcommand \exp [1] {{\e^{#1}}}
\newcommand \ddt [1] {\frac {d #1}{dt}}
\newcommand \ddx [1] {\frac {d #1}{dx}}
\newcommand \ddr [1] {\frac {d #1}{dr}}
\renewcommand \deg {$^\circ$}
\renewcommand \max {{\makebox{\scriptsize max}}}
\markboth {\sl \hfill Hoofdstuk 5. Differentiaalvergelijkingen.} 
{\sl Jos van Kan, B1.5, eerste versie}
\pagestyle {myheadings}
\begin {document}
\chapter {Differentiaalvergelijkingen}
\bke {Oplossingen}
\bdk {Wat is een oplossing van een differentiaalvergelijking?}
(Ik heb  de volgorde van deze twee deelkernen omgewisseld vergeleken met het
plan, om zo meteen te kunnen praten over de {\em helling van (de grafiek van)
een oplossing}.)\\
\opm {Hier maar een leuke cartoon of een mooie meid, anders wordt deze paragraaf
 wel erg saai}
\bopp {Bekijk de differentiaalvergelijking $\ddx y = 2y$.}
\item Differentieer de functie $f(x) = \exp {2x}$. 
\item Leg uit dat geldt $f'(x) = 2 f(x)$. 
\item Doe hetzelfde voor de functie $g (x) = 5 \exp {2x}$.
\eopp

\bkv
Als een functie voldoet aan de door een differentiaalvergelijking gegeven
betrekking, heet zo'n functie {\em een oplossing} van deze
differentiaalvergelijking.\\
Meestal heeft een differentiaalvergelijking meerdere oplossingen. 
\bap
{Is $f(x) = 6\exp {-3x}$ een oplossing van $\ddx y = -3y?$}
\item Bereken $f'(x)$. $f'(x) = -18 \exp {-3x}.$
\item Geldt $f'(x) = -3 f(x)?$ Ja, want $f'(x) = -18 \exp {-3x} = -3 \cdot 6
\exp {-3x} = -3 f(x)$.
\item Dus $f(x) = 6\exp {-3x}$ is een oplossing van $\ddx y = -3y.$
\eap
\ekv
\bopp {Geef aan welke van de volgende functies een oplossing is (zijn) van de
\dv\ $\ddt y = -6y$.}
\item $f(x) = \exp {-6x}$
\item $g(x) = \exp {-6x} + 2$
\item $h(x) = 5 \exp {-6x}$
\item $k(x) = 5 \exp {-5x}$
\eopp
\bopp {Geef aan welke van de volgende functies een oplossing is (zijn) van de
differentiaalvergelijking $\ddx y = 1.$}
\item $f(x) = x$
\item $g(x) = 5x$
\item $h(x) = x+5$
\item $k(x) = x^2$
\eopp

\bop 
\item Laat zien, dat $f(x) = \sqrt {1 - x^2}$ een oplossing is van de
differentiaalvergelijking $\ddx y = -\frac xy$.
\item Zelfde vraag voor $g(x) = - f(x)$.
\item Teken $f$ en $g$ in \'e\'en figuur.
\item Geef {\em nog} een oplossing van deze differentiaalvergelijking.
\eop

\bop
\item Laat zien, dat $f(x) = \sin x$ een oplossing is van de
differentiaalvergelijking $y' = \sqrt {1-y^2}.$
\item Is $g(x) = \cos x$ ook een oplossing?
\item Geef {\em nog} een oplossing van deze differentiaalvergelijking.
\eop
\edk
 

\bdk {Het richtingsveld}
\bopp {Gegeven is de differentiaalvergelijking $\ddx y = -\frac xy.$}
\item  Bereken $y'$ in het punt (1, 1)?
\item Teken in het $x$-$y$ vlak een lijnstukje door het punt $(1, 1)$ met de
door $y'$ gegeven helling.
\item Doe hetzelfde voor de punten $(0, 1)$, $(1, -1)$ en $(2, 1)$
\eopp
\bkv
Een differentiaalvergelijking legt in elk punt van het $x$-$y$ vlak een {\em
helling} vast. Deze helling is de helling van de grafiek van de oplossing die
door dat punt gaat. Een klein stukje raaklijn in zo'n punt heet een
{\em lijnelement}. 
Om een indruk te krijgen van de mogelijke oplossingen teken je alle 
lijnelementen op een regelmatig rooster. Dit heet een {\em
lijnelementen--} of {\em richtingsveld}.
\bvb
\opm{Plaatje Sigma VI blz 100}
Het richtingsveld van de differentiaalvergelijking 
$$ \ddx y = -\frac{4x}{9y} $$
wordt gegeven door nevenstaand plaatje.
\evb
\ekv
\bopp {Sigma VI, blz 6 som 2}
\item Gegeven zijn drie richtingsvelden
{\em Plaatje 1, plaatje 2, plaatje 3}
\item Elk van deze richtingsvelden corresponeren met \'e\'en van de volgende
drie differentiaalvergelijkingen:  
\begin {enumerate}
\item $y'=\frac{x^2-4}y$
\item $y'=\frac{4-x^2}{y^2}$
\item $y'=\frac{4-x^2}{xy}$
\end {enumerate}
Zoek de juiste differentiaalvergelijking bij elk veld.
\eopp
\bop
\item Teken het richtingsveld in het $y,t$--vlak van de
differentiaalvergelijking $\ddt y = y (1-y)$ voor een 5x5 rooster op het
vierkant $(0,1)\times(0,1)$
\item Teken in dit richtingsveld de oplossing met die door $(0; 0,5)$ gaat.
\item Bereken ook de oplossing door dit punt met de methode van Euler. Hoe 
bereken je de
oplossing voor negatieve waarden van $t$?
\eop
\bopp {Profi, blz 6. Hieronder is het richtingsveld getekend van de \dv\ $\ddx y =
(x-y)^2$}
\item Op grond van dit richtingsveld, kun je vermoeden, dat er twee lineaire
functies zijn die een oplossing zijn van de \dv. Welke functies zijn dat?
\item Laat door substitutie zien, dat  de door jou gevonden functies
inderdaad oplossingen zijn van de \dv.
\eopp
\bopp {Profi, blz 6, gedeeltelijk. Gegeven is de \dv\  $\ddx y = 2x - y + 5.$}
\item Teken de verzameling van de punten $(x, y)$, waar de lijnelementen
positieve richtingsco"effici"ent hebben.
\item Leg uit waarom {\em alle} oplossingen van de \dv\ zullen dalen in het
gebied $y> 2x + 5$.
\item Bewijs met formules, dat de rechte lijnen $y = 2x + 5 - p$ punten met 
gelijke helling met elkaar verbinden. Laat dat ook zien in het richtingsveld. 
\item Voor welke $p$ is zo'n lijn een oplossing van de \dv?
\eopp
\edk
\eke
\bke {De algemene oplossing}
\bdk {Oplossingsfamilies.}
\bopp {\opm {Plaatje richingsveld?}\\
Bekijk de \dv\ voor exponenti"ele groei: $$\ddt y = 2y.$$}
\item Laat zien, dat $f(x) = \exp {2x}$ een oplossing is van deze \dv.
\item Laat zien, dat $g(x) = 5\exp {2x}$ een oplossing is van deze \dv.
\item Laat zien, dat $h(x) = C\exp {2x}$, met $C$ een willekeurige constante,
een oplossing is van deze \dv.
\eopp
\bkv
Een uitdrukking die meerdere oplossingen geeft van een \dv\ heet 
{\em oplossingsfamilie} van zo'n \dv. In de formule van 
zo'n oplossingsfamilie zit een nog onbepaalde constante. Voor elke waarde van 
de constante geeft de formule een oplossing van de \dv.
Geeft de oplossingsfamilie {\em alle} oplossingen van de \dv, dan noemen wij dat
de {\em algemene oplossing} van de \dv.
\bvb 
\tr De \dv\ $y' = x$ heeft als algemene oplossing $$f(x) = \frac12 x^2 + C,$$
waarin $C$ een willekeurige constante is.
\tr De \dv\ $y' = -3y$ heeft als algemene oplossing $$g(x) = C \exp {-3x},$$
waarin $C$ een willekeurige constante is.
\tr De \dv\ $y' = -x/y$ heeft als oplossingsfamilie $$h(x) = \sqrt {C-x^2}.$$
Deze familie is niet de {\em algemene} oplossing.
\evb
\ekv
\bopp {Toon aan, dat de volgende paren \dv en de volgende oplossingsfamilies
hebben:}
\item $\ddt y = 2$, $f(t) = 2t + C$, $C$ willekeurig.
\item $\ddx y = \frac 1y$, $ g(x) = \sqrt {2x + C}$, $C$ willekeurig.
\item $\ddt y = -4y$, $h(x) = C \exp {-4t}$, $C$ willekeurig.
\eopp
\bopp {Bepaal een oplossingsfamilie van:}
\item $\ddt y = t + 1$
\item $\ddx y = 0$
\item $\ddt y = 3y - 3$ (Aanwijzing: stel $u = y - 1.$)
\eopp
\bop
\item Beredeneer aan de hand van het richtingsveld, dat de oplossingsfamilie
$f(x) = C$ {\em alle} oplossingen omvat van de \dv\ $y'=0$.
\item Voor een oplossing $g(x)$ 
van de \dv\ $y' =
-2y$, geldt $g(0) = 0$. Beredeneer aan de hand van het richtingsveld, dat
$g(x) = 0$ voor elke waarde van $x$.
\item Een oplossingsfamilie van de \dv\ $y'=-2y$ wordt gegeven door $h(x) = C
\exp {-2x}$. Beredeneer aan de hand van het richtingsveld, dat dit ook de
algemene oplossing is van de \dv. (Aanwijzing: laat zien dat door elk punt van
het x-y vlak zo'n kromme gaat).
\eop
\bop
\item  Laat zien: als de lijnen $y = m_1 x + q_1$ en $y = m_2 x + q_2$ elkaar
snijden geldt $m_1 \neq m_2$.
\item Laat zien, dat twee verschillende oplossingen van een \dv\ 
 elkaar {\em nooit} kunnen snijden. (Aanwijzing: wat zou de richtingsco"effici"ent
 van hun
 raaklijnen zijn in het snijpunt?)
\item Beredeneer met het resultaat van onderdeel b), dat de leden van een
ooplossingsfamilie van een \dv\ elkaar nooit kunnen snijden.
\eop
\edk
\bdk {De beginwaarde}
\bopp {Plaatje grafiek van exponentieel verval/groei voor verschillende
beginwaarden. Verscheiden mensen hebben bij de BCO bank te Rommeldam 
een spaarrekening tegen 3.8\% per jaar. De groei van het kapitaal $K$ wordt 
beschreven door de \dv\
$$ \ddt K = 0.0373 K,$$ wat andere geleerden daarover ook mogen zeggen. Op 1 jan
1990 hadden}
\item Heer O. B. Bommel  $f 2.000.000$, markies de Cantecleer $f 10.000$ en 
ambtenaar 1e klasse A.B.C Dorknoper $187,63$.
\item Wat is de algemene oplossing van deze \dv?
\item Maak een tabel van de kapitaalgroei van deze drie spaarders gedurende de 
laatste decade van dit millennium. 
\eopp
\bkv
Leggen we de oplossing van een \dv\ in \'e\'en punt vast, dan is deze oplossing 
daarmee
volledig bepaald. De $x$ (of $t$) waarde, waarin we de oplossing vastleggen heet
het {\em beginpunt}, de waarde van de oplossing in het beginpunt de {\em
beginwaarde}. \\
De beginwaarde wordt soms ook (minder juist) beginvoorwaarde of (nog minder
juist) randvoorwaarde genoemd.
\ekv
\bopp {Op dezelfde bank te R. had O. Dickerdack op 1 jan 2000 f 7260,12. Wat had
hij op 1 jan 1990?}
\item
\eopp
\bopp {De algemene oplossing van de \dv\ $y' = -\frac xy$ is de familie van
 alle cirkels met middelpunt (0,0).}
\item Toon dit aan.
\item Geef een beginwaarde voor de bovenhelft van de cirkel met straal 1.
\item Geef een beginwaarde voor de onderhelft van de cirkel met straal 5.
\eopp
\bopp {Een radioactief isotoop vervalt volgens de \dv\ $$\ddt y = - 0.004 y.$$
$t$ in jaren.}
\item Op 1 jan 1990 mat men een hoeveelheid van 1 $\mu$g van het isotoop in een
archeologisch object. Hoeveel $\mu$g was er aanwezig in dat object op 1 jan 100 AD?
\item Wat is de halveringstijd van het isotoop? Leg uit dat de halveringstijd
onafhankelijk is van de beginwaarde.
\eopp
\bopp {Een bacterie-kolonie groeit volgens het exponenti"ele groeimodel
$$\ddt N = aN.$$}
\item Op woensdag om 12 uur 's middags is N=5500.
\item Op donderdag om 12 uur 's middags is N=6500.
\item Bereken $a$.
\item Bereken $N$ op de dinsdag daaraan voorafgaand om 12 uur 's middags. 
\eopp
\edk
\eke
\bke {Algemene oplossing van andere groeimodellen}
\bdk {Geremde groei}
\bopp {Foto parachutespringer. De verticale snelheid $v$ (in m/sec) van een 
parachutespringer met geopende parachute wordt gegeven door de \dv 
$$\ddt v = 5 - v$$}
\newcounter {parachute}
\setcounter {parachute} {\value {opgave}}
\item Ga na, dat als $v=5$ de snelheid van de parachutespringer niet meer
verandert. Dit noemt men zijn "stationaire snelheid".
\item Bekijk het verschil van de werkelijke snelheid en de stationaire snelheid:
$u = v - 5$. Differentieer deze betrekking aan beide zijden van het gelijkteken
en toon daarmee aan, dat $u$ voldoet aan de \dv\ $$\ddt u = - u.$$
\item Geef de algemene oplossing van de \dv\ voor $u$. 
\item Geef met behulp van b) en c) de algemene oplossing van de \dv\ voor $v$.
\eopp
\bkv
De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking voor geremde groei
$$\ddt y = 1 - y,$$
wordt gegeven door 
$$ y = 1 + C\exp {-t},$$ waarin $C$ een willekeurige constante is.
\bvb 
Bereken de algemene oplossing van de \dv\ $$\ddx y = 7 - y$$
\tr We "vermoeden", dat de algemene oplossing is $f(x) = 7 + C\exp{-x}$.
\tr We differenti"eren deze uitdrukking: $f'(x) = - C\exp{-x}$.
\tr Door substitutie vinden we, dat inderdaad geldt $f'(x) = 7 - f(x)$, dus  
$f$ is een familie van oplossingen van de DV.
\tr Door ieder punt van het  $x$-$y$--vlak gaat precies \'e\'en lid van de familie.
\evb
\ekv
\bopp {Gegeven is de \dv\ $$\ddt v = 3 - v$$}
\item  Bepaal de oplossing die door (0,0) gaat.
\item Bepaal de oplossing die door (-10,5) gaat.
\eopp
\newcounter {ger_groei}
\bop 
\setcounter {ger_groei} {\value {opgave}}
\item Bepaal de algemene oplossing van de \dv\ $$\ddt u = k - u,$$ met $k$ een
willekeurige constante.
\item Geef een argument waaruit blijkt, dat je inderdaad {\em alle} oplossingen
hebt.
\eop

\bopp { Plaatje richingsvelden. Beschouw de \dv\ $$\ddt w = 2(k - w)$$}
\item Vergelijk deze \dv\ met de \dv\ uit som~\arabic{ger_groei}. Bekijk de richtingsvelden van
beide \dv en en experimenteer met het vermenigvuldigen van de $t$-as. Voor welke
vermenigvuldigingsfactor zijn de richtingsvelden hetzelfde?
\item Geef een formule voor de algemene oplossing van deze \dv.
\item Verifieer je oplossing door substitutie.
\eopp

\bopp {(Foto van fles Oude Bokma, met etiket onzichtbaar, want naar andere kant
toe.) Een fles melk wordt uit de koelkast gehaald en heeft op $t=0$ een
temperatuur van 6\deg. Omdat het in de keuken 19\deg\ is warmt de fles op volgens
de \dv:
$$\ddt T = a(19-T),$$ $t$ in minuten.}
\item Geef een formule voor de temperatuur $T$. 
\item  Na een kwartier is de temperatuur van de fles 12\deg. Bepaal $a$.
\eopp
\edk

\bdk {De algemene oplossing voor logistische groei}
\bopp {(plaatje logistische kromme). Bekijk de functie $$f(t) = \frac
1{1+\exp{-t}}$$}
\item Bereken de afgeleide van $f$.
\item Laat zien, dat $f$ een oplossing is van de logistische DV $$\ddt y = y
(1-y).$$
\item Laat zien, dat het richtingsveld onveranderd
blijft bij verschuiving langs de $t$-as. Leid hieruit af, dat $f(t+1)$ \'o\'ok
een oplossing is. Wat is de algemene oplossing van deze \dv?
\eopp
\bkv
De algemene oplossing van de logistische vergelijking met draagcapaciteit $M>0$:
$$\ddt y = y (1-\frac yM)$$
wordt gegeven door
$$y = \frac M{1+C\exp {-t}}$$
waarin $C$ een willekeurig constante is. 
\bvb Een natuurreservaat kan 100 herten herbergen. Er wordt een populatie van 20
herten uitgezet. Bereken de bevolkingsgroei als functie van de tijd, als 
de bevolkingsgroei
volgens bovenstaande \dv\ kan worden gemodelleerd.
\tr Hier geldt: $M=100$ en wegens $f(0) = 20$ krijgen we 
$$20 = \frac {100} {1+C}$$
ofwel C=4.
\tr Het antwoord is dus $f (t) = \frac {100}{1+4\exp{-t}}.$
\evb
\ekv
\bopp {Een populatie zeehonden groeit volgens bovenstaand model. Plaatje!
Snoezige zeehonden!}
\item Op 1 aug 1990 telt men 100 zeehonden.  Druk $C$ uit in $M$.
\item Op 1 aug 1991 telt men 200 zeehonden. Druk $C$ uit in $M$.
\item Bereken $M$ en $C$
\eopp
\bopp {We bewijzen de formule uit het kleurvlak.}
\item Laat met behulp van substitutie zien, dat $$u=\frac1{1+C\exp{-t}}$$ een
oplossings familie is van $$\ddt u = u (1-u).$$
\item Ga na, dat door ieder punt in het $t$-$u$ vlak een lid van de familie
gaat. Met welke oplossingen corresponderen positieve, resp. negatieve waarden
van $C$?
\item Stel $u = \frac yM$ en substitueer dit in de \dv. Welke
differentiatieregel moet je toepassen?
\eopp
\bopp {Als de herten gemiddeld tweemaal zoveel jongen per jaar krijgen 
gaat de groei natuurlijk tweemaal zo hard. Voor deze herten geldt dus: 
$$ \ddt w = 2 w(1-\frac wM)$$}
\item Vergelijk het richtingsveld van deze \dv\ met dat van de \dv\ $$\ddt y = y
(1-\frac yM)$$
\item Laat zien, dat beide richtingsvelden gelijk zijn wanneer de tijdschaal $t$
voor de \dv\ van  $w$ met 2 vermenigvuldigd wordt, m.a.w als
$w$ wordt gemeten in een tijd $t'$ waarvoor geldt $t'=2t$.
\item Geef de algemene oplossing voor $w$ in $t'$.
\item Geef de algemene oplossing voor $w$ in $t$.
\eopp
\bopp {De algemene logistische vergelijking wordt gegeven door  
$$\ddt y = c y (1-\frac yM),$$ met $c$ de voortplantingsco"effici"ent en $M$ de
draagcapaciteit.}
\item Geef de algemene oplossing op dezelfde manier als in de vorige som.
\item Verifieer het resultaat door substitutie.
\eopp
\edk
\eke
\end {document}


