Technische Universiteit Delft Faculteit Informatietechnologie en Systemen Toets wi2091: Numerieke methoden voor
differentiaalvergelijkingen
1
vrijdag 24 augustus 2001, 11:00-12:30
Het lineaire interpolatie polynoom p wordt gegeven door
p(x) =
x-x1x0-x1
f(x0) +
x-x0x1-x0
f(x1).
Bepaal hiermee een benadering voor f¢(0) als f(-2h) en f(-h)
gegeven zijn.
Stel f is gegeven in de punten x, x-h en x-2h.
Leidt een formule af voor het benaderen van f¢¢(x) van een zo hoog
mogelijke graad.
Stel we rekenen met een benadering [^(f)] van f, waarbij
|[^(f)](y) - f(y)| < e voor alle y Î [x-2h,x]. Hoe
groot is de fout in de benadering van f¢¢(x) ten gevolge van de
afrondfouten?
De trapeziumregel voor de differentiaalvergelijking:
y¢ = f(t,y), y(0) = y0
wordt gegeven door
uj+1 = uj +
h2
[f(tj,uj) + f(tj+1,uj+1)].
Laat zien dat de afbreekfout van deze methode O(h2) is.
Bepaal de versterkingsfactor van deze methode.
Gegeven het stelsel
x¢1
=
-2x1 - x2,
x¢2
=
x1 - 2x2,
met beginvoorwaarden: x1(0) = 1 en x2(0) = 0.
Is dit stelsel stabiel (+ motivatie)?
Onderzoek de stabiliteit van de trapeziumregel toegepast op dit
stelsel.