Technische Universiteit Delft Faculteit Informatietechnologie en Systemen Uitwerkingen toets wi2091: Numerieke methoden voor
differentiaalvergelijkingen
dinsdag 20 augustus 2002, 16:00-17:30
Ontwikkeling van de termen in een Taylorreeks met als steunpunt x
geeft dat de afbreekfout O(h4) is.
Het resultaat is uiteraard afhankelijk van het aantal cijfers dat
meegenomen wordt bij de berekening. Met 15 cijfers is het resultaat
Th(1) = 2.71828182816273 en het verschil is 3 ×10-10.
In het meest pessimistische geval is
|
^ T
h
(x) - Th(x)| £
e+ 16 e+ 30 e+ 16 e+e12h2
=
16 e3h2
.
In dit geval is de afrondfout in de functiewaarden hoogstens 5×10-6. Uit onderdeel (c) volgt dan de schatting: 4/15 = 0.267.
Het echte verschil is: |[^(T)]h(1) - Th(1)| = 0.0182.
De versterkingsfactor volgt uit de definitie: schrijf wj+1 = Q(hl) wj voor de testvergelijking y¢ = ly.
Neem f(t,y) = ly en substitueer dit in de definitie van
RK4 dan volgt:
Q(hl) = 1 + hl+
(hl)22
+
(hl)33!
+
(hl)44!
.
.
De definitie van de afbreekfout is:
yj+1 -
^ w
j+1
h
,
waarbij [^(w)]j+1 gelijk is aan één stap met de RK4 methode
toegepast op yj. Dit geeft
yj+1 -
^ w
j+1
h
=
ehlyj - Q(hl)yjh
=
(hl)55!
+ ....
h
= O(h4).
Door de keuze x1 = y en x2 = y¢ volgt:
ì í
î
x1¢ = x2
x2¢ = 1-4x1
De eigenwaarden van de matrix zijn: l1 = 2i en l2 = -2i. Het stelsel is stabiel omdat het reele deel van de eigenwaarden
gelijk aan nul is.
Invullen van h = 1 en l1 = 2i geeft:
Q(hl1) =
-1+2i3
.
De modulus hiervan is kleiner dan 1, dus is de methode stabiel voor h = 1.
File translated from
TEX
by
TTH,
version 2.58. On 22 Aug 2002, 12:20.