`"

Technische Universiteit Delft
Faculteit Informatietechnologie en Systemen
Toets wi2091: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen 1
dinsdag 20 augustus 2002, 16:00-17:30

  1. Een formule om de tweede orde afgeleide f¢¢(x) te benaderen is
    Th(x) = -f(x-2h)+16f(x-h)-30f(x)+16f(x+h)-f(x+2h)
    12h2
    .

    1. Bepaal de orde van de afbreekfout van deze formule.
    2. Neem f(x) = ex en h = 0.01. Bepaal Th(1) met zo veel mogelijk cijfers. Hoe groot is f¢¢(1)-Th(1)?
    3. Als f in een tabel gegeven is, dan de bevatten de tabelwaarden [^(f)](x) afrondfouten. Neem aan |[^(f)](x) - f(x)| < e. Hoe groot is |[^(T)]h(x) - Th(x)|?
    4. Gegeven de volgende tabel (in 6 cijfers nauwkeurig):

      x ex
      0.98 2.66445
      0.99 2.69123
      1 2.71828
      1.01 2.74560
      1.02 2.77319

      Geef met behulp van het antwoord in (c) een schatting van de afrondfout in [^(T)]h(1) voor h = 0.01. Bepaal |[^(T)]h(1) - Th(1)| en vergelijk dit met de schatting.

  2. We beschouwen een beginwaardeprobleem y¢ = f(t,y), met y(0) = y0. De RK4 methode wordt gegeven door:
    ì
    ï
    ï
    ï
    ï
    ï
    ï
    ï
    ï
    ï
    í
    ï
    ï
    ï
    ï
    ï
    ï
    ï
    ï
    ï
    î
    k1 = hf(tj, uj)  ,
    k2 = hf(tj+[1/2], uj+ 1
    2
    k1)  ,
    k3 = hf(tj+[1/2], uj + 1
    2
    k2)  ,
    k4 = hf(tj+1, uj + k3)  ,
    uj+1 = uj + 1
    6
    (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)  .

    1. Laat zien dat de versterkingsfactor van RK4 gelijk is aan:
      Q(hl) = 1 + hl+ (hl)2
      2
      + (hl)3
      3!
      + (hl)4
      4!
        .
    2. Geef de orde van de afbreekfout van RK4 voor de testvergelijking. Z.O.Z.
    3. Gegeven het beginwaardeprobleem:
      y¢¢+4y = 1,     y(0) = 1 en y¢(0) = 0.
      Schrijf deze vergelijking als een stelsel eerste orde differentiaalvergelijkingen. Is het stelsel differentiaalvergelijkingen stabiel?
    4. Als we RK4 toepassen op dit stelsel en we nemen h = 1, is de RK4 methode dan stabiel?

1 voor de antwoorden zie: ../wi211/tentamen.html


File translated from TEX by TTH, version 2.58.
On 22 Aug 2002, 12:22.